Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Je considère l'équation différentielle [tex]y'(x)=e^{-xy(x)}[/tex].
J'ai montré que tout problème de Cauchy admettait une solution maximale sur un intervalle de [tex]\mathbb{R}[/tex].
On note [tex](I,f)[/tex] la solution maximale passant par [tex](0,0)[/tex].

J'ai également montré que [tex]f[/tex] était impaire.

Par contre, je ne vois pas comment montrer que [tex]I=\mathbb{R}[/tex].
Tout ce que je peux dire, c'est que si [tex]g[/tex] est une solution globale sur [tex]\mathbb{R}[/tex], alors la restriction de [tex]g[/tex] à [tex]I[/tex] coïncide avec [tex]f[/tex], et vérifie donc [tex]g(0)=0[/tex].
J'ai également essayé de résoudre l'équation différentielle, sans succès.

Avez-vous une piste ?
Merci !

Bonjour,

J'essaye de déterminer l'ordre du pôle de [tex]f : z\to \frac{e^{z^2}}{z^5}[/tex] en utilisant un développement de Laurent.

Je développe donc [tex]f[/tex] en série de Laurent en [tex]0[/tex] :

[tex]f(z)=\sum_{n\ge 0}^{+\infty} \frac{z^{2n-5}}{n!}=\frac{1}{z^5}+\frac{1}{z^3}+\frac{1}{2}\frac{1}{z}+\sum_{n\ge 3}^{+\infty} \frac{z^{2n-5}}{n!}[/tex].

Maintenant, si je veux faire apparaître explicitement le terme [tex](z-0)^n=z^n[/tex] dans la somme, comment procéder ?
Faut-il absolument passer par le calcul des coefficients [tex]c_n[/tex] à l'aide de la formule de Cauchy ?

J'essaye d'utiliser le résultat suivant :
Soit [tex]p[/tex] un entier non nul.
[tex]f[/tex] admet un pôle d'ordre [tex]p[/tex] en [tex]a[/tex] si et seulement si le développement en série de Laurent de [tex]f[/tex] en [tex]a[/tex] s'écrit [tex]\sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-a)^n[/tex] avec [tex]a_{-p}\neq 0[/tex].

Merci pour vos conseils !

Bonjour,

Dans un espace affine [tex]E[/tex], on se donne une application [tex]f[/tex] et un point [tex]A[/tex] de [tex]E[/tex]. On définit l'application [tex]f[/tex] par [tex]f(A+tu)=f(A)+t^2u[/tex] pour tout [tex]t[/tex] réel et tout [tex]u[/tex] vecteur de la direction de [tex]E[/tex], que je note [tex]\vec{E}[/tex].
J'essaye de voir si [tex]f[/tex] est une application affine ou pas.

Puisque [tex]t[/tex] réel et que [tex]u\in \vec{E}[/tex] (sous-espace vectoriel), alors [tex]tu\in \vec{E}[/tex]. Je pose [tex]e=tu[/tex].
La relation sur [tex]f[/tex] se réécrit donc [tex]f(A+e)=f(A)+te[/tex].
Posons alors [tex]\vec{f}(e)=te[/tex] pour tout [tex]e\in \vec{E}[/tex].

Résumons : il existe [tex]A\in E[/tex] tel que pour tout [tex]e\in \vec{E}[/tex], [tex]f(A+e)=f(A)+\vec{f}(e)[/tex]. Donc [tex]f[/tex] est une application affine.

Qu'en pensez-vous ?

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice qui a pour but de montrer que la fonction [tex]g : t\to g(t)=\frac{arctan(t)}{t}[/tex] pour tout [tex]t\neq 0[/tex] et [tex]g(0)=1[/tex] est une fonction caractéristique, je parviens à répondre à toutes les questions, sauf à la toute première.
Dans celle-ci, on considère [tex]f : t\to \frac{1}{1+t^2}[/tex] et on demande de montrer que pour tout [tex]a[/tex] strictement positif, [tex]f_a(t)=f(at)[/tex] est une fonction caractéristique, et de trouver la loi correspondante.

Ma piste la plus sérieuse est l'utilisation du théorème d'inversion de Fourier pour les fonctions caractéristiques.
Je reconnais que [tex]h : t\to e^{-|t|}[/tex] est la fonction caractéristique de la loi de Cauchy, qui a pour densité [tex]\frac{1}{\pi}f(t)[/tex].
Je peux alors écrire que [tex]\frac{1}{\pi}f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ixt}e^{-|t|}dt[/tex] et donc que [tex]f(at)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-iaxt}e^{-|t|}dt[/tex].
Bon et après je n'aboutis à rien de plus.

Auriez-vous des idées ? Merci !

Bonjour,

J'ai des difficultés pour appliquer le principe du maximum.
Par exemple, je dois montrer que pour [tex]r[/tex] strictement positif, [tex]\sup_{z\in C(0,r)} |e^z cos(z)|\ge 1[/tex].

Je note [tex]\bar{D(0,r)}[/tex] l'adhérence du disque [tex]D(0,r)[/tex].

Voici comment je raisonne.
La fonction [tex]f : z\to e^z cos(z)[/tex] est entière en tant que produit de fonctions qui le sont.
En particulier, pour tout r strictement positif, f est continue sur [tex]\bar{D(0,r)}[/tex] et holomorphe sur [tex]D(0,r)[/tex].
Par le principe du maximum, il existe donc [tex]z_0\in C(0,r)[/tex] tel que [tex]|f(z_0)|=\sup_{z\in \bar{D(0,r)}} |f(z)|[/tex].

Ensuite, je dirais qu'en particulier, on a [tex]|f(0)|=1\le \sup_{z\in \bar{D(0,r)}} |f(z)|[/tex].
Ensuite, on a [tex]C(0,r)\subset \bar{D(0,r)}[/tex] et donc [tex]\sup_{z\in \bar{C(0,r)}}\le \sup_{z\in \bar{D(0,r)}}[/tex] n'est-ce pas ?
Je ne vois pas comment conclure.

Qu'est-ce qui ne va pas dans mon raisonnement ?
Merci !

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice en analyse complexe, j'ai à considérer [tex]U=\mathbb{C}-\{k\pi,k\in \mathbb{Z}\}[/tex] et une fonction holomorphe sur [tex]U[/tex]. Je veux en déduire que l'intégrale de f sur tout lacet [tex]C^1[/tex] par morceaux inclus dans [tex]U[/tex] est nulle.
Le corrigé de l'exercice conclut directement ce résultat. Je comprends qu'il s'agit d'un corollaire du théorème de Goursat, mais il me semble qu'il faut justifier que [tex]U[/tex] est un ouvert étoilé. Est-ce si évident que ça ?

J'ai essayé de le montrer. On a [tex]U=\mathbb{C}-\{k\pi,k\pi \mathbb{Z}\}=\mathbb{C}\cap \big(\cap_{k\in \mathbb{Z}} \{k\pi\}\big)^c=\mathbb{C}\cap \cup_{k\in \mathbb{Z}}\{k\pi\}^c[/tex].

Or, [tex]\{k\pi\}^c[/tex] est ouvert dans [tex]\mathbb{C}[/tex] et donc [tex]\cup_{k\in \mathbb{Z}}\{k\pi\}^c[/tex] est ouvert dans [tex]\mathbb{C}[/tex], et donc [tex]U[/tex] est une intersection de deux ouverts, donc est [tex]U[/tex] est ouvert dans [tex]\mathbb{C}[/tex].

Par contre, je ne vois pas pourquoi il est étoilé dans [tex]\mathbb{C}[/tex].

Merci pour votre aide !