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Vincent62

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intégrale nulle

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice en analyse complexe, j'ai à considérer [tex]U=\mathbb{C}-\{k\pi,k\in \mathbb{Z}\}[/tex] et une fonction holomorphe sur [tex]U[/tex]. Je veux en déduire que l'intégrale de f sur tout lacet [tex]C^1[/tex] par morceaux inclus dans [tex]U[/tex] est nulle.
Le corrigé de l'exercice conclut directement ce résultat. Je comprends qu'il s'agit d'un corollaire du théorème de Goursat, mais il me semble qu'il faut justifier que [tex]U[/tex] est un ouvert étoilé. Est-ce si évident que ça ?

J'ai essayé de le montrer. On a [tex]U=\mathbb{C}-\{k\pi,k\pi \mathbb{Z}\}=\mathbb{C}\cap \big(\cap_{k\in \mathbb{Z}} \{k\pi\}\big)^c=\mathbb{C}\cap \cup_{k\in \mathbb{Z}}\{k\pi\}^c[/tex].

Or, [tex]\{k\pi\}^c[/tex] est ouvert dans [tex]\mathbb{C}[/tex] et donc [tex]\cup_{k\in \mathbb{Z}}\{k\pi\}^c[/tex] est ouvert dans [tex]\mathbb{C}[/tex], et donc [tex]U[/tex] est une intersection de deux ouverts, donc est [tex]U[/tex] est ouvert dans [tex]\mathbb{C}[/tex].

Par contre, je ne vois pas pourquoi il est étoilé dans [tex]\mathbb{C}[/tex].

Merci pour votre aide !

Fred

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Re : intégrale nulle

Bonjour,

  Plusieurs remarques :
* ton égalité $\mathbb C-\{k\pi:\ k\in\mathbb Z\}=\mathbb C \cap \big(\cap_{k\in\mathbb Z}\{k\pi\}\big)^c$ est fausse.
D'ailleurs l'intersection des $\{k\pi\}$ est clairement l'ensemble vide.
* l'ensemble $U$ que tu décris n'est pas étoilé, et le résultat que tu veux démontrer est faux. Par exemple, $f(z)=1/z$ est holomorphe dans $U$, et son intégrale le long du cercle unité (qui est contenu dans $U$) n'est pas nulle.

F.

Vincent62

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Re : intégrale nulle

Bonjour Fred,

Ah oui, j'ai écrit pas mal de bêtises. Bon je reprends tout ça, merci !

Vincent62

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Re : intégrale nulle

En fait, j'ai montré que f continue admet une primitive sur U. Puisque U est ouvert, on en déduit que l'intégrale de f sur tout lacet [tex]C^1[/tex] par morceaux dont le support est inclus dans U est nulle.