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Vincent62

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Loi de Cauchy

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice qui a pour but de montrer que la fonction [tex]g : t\to g(t)=\frac{arctan(t)}{t}[/tex] pour tout [tex]t\neq 0[/tex] et [tex]g(0)=1[/tex] est une fonction caractéristique, je parviens à répondre à toutes les questions, sauf à la toute première.
Dans celle-ci, on considère [tex]f : t\to \frac{1}{1+t^2}[/tex] et on demande de montrer que pour tout [tex]a[/tex] strictement positif, [tex]f_a(t)=f(at)[/tex] est une fonction caractéristique, et de trouver la loi correspondante.

Ma piste la plus sérieuse est l'utilisation du théorème d'inversion de Fourier pour les fonctions caractéristiques.
Je reconnais que [tex]h : t\to e^{-|t|}[/tex] est la fonction caractéristique de la loi de Cauchy, qui a pour densité [tex]\frac{1}{\pi}f(t)[/tex].
Je peux alors écrire que [tex]\frac{1}{\pi}f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ixt}e^{-|t|}dt[/tex] et donc que [tex]f(at)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-iaxt}e^{-|t|}dt[/tex].
Bon et après je n'aboutis à rien de plus.

Auriez-vous des idées ? Merci !

Dernière modification par Vincent62 (09-04-2023 08:04:34)

Glozi

Invité

Re : Loi de Cauchy

Bonsoir,
C'est une bonne manière de faire, tu y es presque, tu ne vois pas ? (attention cependant aux mélanges entre $t$ et $x$ dans tes intégrales !).

Supposons que $f(t)$ soit la fonction caractéristique d'une loi $\mu$. Considérons $X$ une v.a. qui ait cette loi précise. Alors $\mathbb{E}[e^{itX}]=f(t)$. Maintenant quelle est la fonction caractéristique de $Y:=aX$ (où $a>0$ est fixé) ?

La question est donc de trouver une v.a. $X$ ayant une certaine loi de sorte que $\mathbb{E}[e^{itX}] = f(t) = \frac{1}{1+t^2}$.
Ton raisonnement amène à considérer $X$ de mesure $\frac{1}{2}e^{-|t|}dt$

Bonne soirée

Vincent62

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Re : Loi de Cauchy

Bonjour Glouzi,

Merci pour tes explications ! ;)