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Vincent62

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Equadiff et intervalle

Bonjour,

Je considère l'équation différentielle [tex]y'(x)=e^{-xy(x)}[/tex].
J'ai montré que tout problème de Cauchy admettait une solution maximale sur un intervalle de [tex]\mathbb{R}[/tex].
On note [tex](I,f)[/tex] la solution maximale passant par [tex](0,0)[/tex].

J'ai également montré que [tex]f[/tex] était impaire.

Par contre, je ne vois pas comment montrer que [tex]I=\mathbb{R}[/tex].
Tout ce que je peux dire, c'est que si [tex]g[/tex] est une solution globale sur [tex]\mathbb{R}[/tex], alors la restriction de [tex]g[/tex] à [tex]I[/tex] coïncide avec [tex]f[/tex], et vérifie donc [tex]g(0)=0[/tex].
J'ai également essayé de résoudre l'équation différentielle, sans succès.

Avez-vous une piste ?
Merci !

Dernière modification par Vincent62 (30-04-2023 15:07:33)

Michel Coste

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Re : Equadiff et intervalle

Bonjour,
Peux-tu donner l'énoncé exact ? Quelles sont les questions posées ?

Vincent62

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Re : Equadiff et intervalle

Bonjour Michel,

Question 1 : Montrer que tout problème de Cauchy admet une solution maximale sur un intervalle ouvert de [tex]\mathbb{R}[/tex] (application du théorème de Cauchy-Lipschitz donc).

On note [tex](I,f)[/tex] la solution maximale passant par [tex](0,0)[/tex].

Question 2 : Montrer que [tex]I=\mathbb{R}[/tex], puis que f est impaire.

Question 3 : Déterminer la limite de [tex]f[/tex] lorsque [tex]x[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex].

Question 4 : Tracer l'allure du graphe de [tex]f[/tex].

Merci !

Michel Coste

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Re : Equadiff et intervalle

Suppose que l'extrémité droite de [tex]I[/tex] est [tex]a\in \mathbb R[/tex]. Que se passerait-il alors pour [tex]y(x)[/tex] quand [tex]x[/tex] tend vers [tex]a[/tex] par valeurs inférieures ?

Vincent62

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Re : Equadiff et intervalle

Bonjour et merci Michel, c'est bien noté.
Je rédige quelque chose sous peu :)