Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Uiza.e

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Anneaux et Corps

Bonjour s'il vous plaît comment résoudre ces deux questions
1)Montrer que l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau peut être muni d'une structure de groupe ?
2)Avec quel groupe d'ordre 4 les groupes suivants sont-ils isomorphes?
a- (Z/5Z)* , b- (Z/8Z)*

Vincent62

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Re : Anneaux et Corps

Bonjour,
Soit A ton anneau. Tu t'intéresses à l'ensemble des éléments de A inversibles dans A, muni de la loi x. Appelle-le U(A).

Il faut donc montrer que U(A) est stable par produit, que la mutliplication y est associative, que U(A) admet un neutre pour x et que tout élément de U(A), son inverse est encore dans U(A).

Fred

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Re : Anneaux et Corps

Bonjour,

  Pour la deuxième question, il faut que tu commences par faire la liste des éléments de tes sous-groupes. Il n'y en a pas beaucoup (4 à chaque fois). Pour le premier, tu devrais voir assez rapidement qu'il y a un élément d'ordre 4, ce qui devrait te permettre une identification facile.
Pour le second, tu vas obtenir un élément d'ordre 1, et 3 éléments d'ordre 2. Tu peux écrire la table de multiplication du groupe, et voir ensuite que c'est la même que celle de $(\mathbb Z/2\mathbb Z)\times (\mathbb Z/2\mathbb Z)$.

F.