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Vincent62

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convergence en proba

Bonjour,

Je considère une suite de variables aléatoires [tex](X_n)[/tex] simultanément essentiellement bornées par une borne [tex]M[/tex].
On suppose que [tex]X_n[/tex] converge vers [tex]X[/tex] en probabilité.
Soit [tex]\epsilon>0[/tex] et [tex]a=\big(\frac{\epsilon}{2}\big)^(\frac{1}{p})[/tex]. J'essaie de montrer que pour tout entier [tex]n[/tex] supérieur ou égal à un certain rang [tex]n_0[/tex], on a : [tex]P(|X_n-X|\ge a)\le \frac{\epsilon}{2M^p}[/tex].

Mais n'est-ce pas direct ?
En effet, [tex]\epsilon[/tex] étant arbitraire, a l'est aussi, et sachant que pour tout [tex]a>0[/tex], [tex]\lim_{n\to +\infty} P(|X_n-X|\ge a)=0[/tex], alors pour n assez grand, on a le résultat. Non ?

Est-ce qu'il faut découper astucieusement [tex]{|X_n-X|\ge a}[/tex] ?

Merci pour vos conseils, je suis un peu perdu sur cette question.

Dernière modification par Vincent62 (21-04-2023 06:28:25)

Glozi

Invité

Re : convergence en proba

Bonjour,
Je suis d'accord, puisque $n_0$ peut dependre de $\varepsilon$, la cv en proba repond à ton problème.

Si le resultat qu'on voulait montrer c'était qu'il existe un $n_0$ qui fonctionne pour tout $\varepsilon$, alors je pense qu'on pourrait assez facilement trouver un contre exemple (pour p=1 par exemple)

J'imagine que le but de cet exo c'est de montrer qu'il y a convergence dans $L^p$, non ?
Bonne journée

Vincent62

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Re : convergence en proba

Bonjour Glozi,
Oui, c'est bien le but de l'exo.
Bon, et bien ce n'était donc pas méchant comme question ^^

Glozi

Invité

Re : convergence en proba

D'accord, c'est juste que ça me faisait penser à : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15983 c'est pour ça que je demandais.
Bonne soirée

Vincent62

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Re : convergence en proba

Oui oui je voulais dire que je cherchais compliqué alors que la démarche était assez directe.

Merci encore !