Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

droite en coordonnées affines

Bonjour !

Je m'arrache les cheveux pour essayer de comprendre pourquoi, dans un repère affine [tex](A,B,C)[/tex], l'équation en coordonnées barycentriques d'une droite dans un plan est donnée par [tex]ax+by+cz=0[/tex] avec [tex](a,b,c)[/tex] non colinéaire à [tex](1,1,1)[/tex].

Alors j'ai essayé plein de trucs qui n'aboutissent pas. Par contre, j'ai trouvé comment passer des coordonnées affines aux coordonnées cartésiennes, et inversement.
Dans tous les cas, en appelant D cette droite, elle a pour équation cartésienne, dans le repère cartésien [tex](A,\vec{AB}, \vec{AC})[/tex], [tex]ux+vy+w=0[/tex] avec [tex]u,v[/tex] et [tex]w[/tex] des scalaires.

A partir de là, j'ai essayé de passer en coordonnées barycentriques, mais je ne vois pas comment.

Merci pour votre aide :s

Dernière modification par Vincent62 (02-04-2023 16:46:29)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : droite en coordonnées affines

Salut,

  Si tu sais passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées barycentriques, alors normalement ce n'est pas trop difficile.
On se place dans le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$. L'équation générale d'une droite dans ce repère
est $a u + b v +c =0$, avec $(a,b)\neq (0,0)$. Cela signifie qu'un point $M$ de coordonnées affines $M(u,v)$ est sur la droite si et seulement si $au+bv+c=0$.

Maintenant, $M$ a pour coordonnés barycentriques $(x,y,z)$ dans le repère $(A,B,C)$. Tu sais alors que $u=\frac{y}{x+y+z}$ et $v=\frac z{x+y+z}$. L'équation $au+bv+c=0$ se transforme en $a y+bz+c(x+y+z)=0$ soit encore $c x+(a+c)y+(b+c)z=0$.
En posant $a'=c,$ $b'=a+c$ et $c'=b+c$, on a bien $a' x+b'y+c'z=0$, et $(a',b',c')$ n'est pas un multiple de $(1,1,1)$. Sinon on aurait $c=a+c=b+c$ et donc $a=b=0$, ce qui n'est pas le cas.

F.

Dernière modification par Fred (04-04-2023 13:20:57)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : droite en coordonnées affines

Bonjour,
Voir https://forums.futura-sciences.com/math … ffine.html

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : droite en coordonnées affines

Une coquille dans le message de Fred : c'est [tex]u=\dfrac{y}{x+y+z}[/tex] et [tex]v=\dfrac{z}{x+y+z}[/tex].

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : droite en coordonnées affines

Merci Michel, j'ai corrigé la coquille.

Vincent62

Membre

Inscription : 26-05-2022

Messages : 314

Re : droite en coordonnées affines

Merci à vous deux !