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Vincent62

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Convergence en probabilité et L^p

Bonjour,

J'essaye de montrer que si une suite [tex](X_n)[/tex] de variables aléatoires est uniformément bornées, alors [tex]X_n \to^{P} X[/tex] implique que [tex]X_n \to^{L^p} X[/tex] pour tout [tex]p\ge 1[/tex].

Par hypothèse, il existe [tex]c\ge 0[/tex] tel que [tex]sup_{n\ge 0} sup_{\omega \in \Omega} |X_n(\omega)|\le c[/tex], et donc pour tout [tex]n\ge 0[/tex] et pour tout [tex]\omega \in \Omega, |X_n(\omega)|^p\le c^p[/tex].

Or, [tex]\int_{\Omega} c^p dP(\omega)=c^p[/tex] et donc l'application [tex]c^p[/tex] est [tex]P[/tex]-intégrable.

Puisque [tex]X_n \to^{P} X[/tex], alors par le théorème de convergence dominée pour la convergence en probabilité, on obtient que :
[tex]\lim_{n\to +\infty} \int_{\Omega} X_n^p(\omega)dP(\omega)=\int_{\Omega}X^pdP(\omega)[/tex].

Là, je ne vois pas comment en déduire que [tex]E(|X_n(\omega)-X_n(\omega)|^p)=\int_{\Omega} |X_n(\omega)-X_n(\omega)|^pdP(\omega)\to_{n\to +\infty} 0[/tex].

Est-ce que mon raisonnement jusqu'à présent est juste, et si oui, pouvez-vous me donner un coup de pouce pour conclure ? Merci !

Glozi

Invité

Re : Convergence en probabilité et L^p

Bonjour,
C'est quoi le théorème de la convergence dominée pour la CV en proba ? (je ne connais pas de théorème sous ce nom, quelles sont ses hypothèses et sa conclusion ?)
Mais sinon une stratégie pour ce genre de problème est d'écrire $\mathbb{E}[(X_n-X)^p]$ en faisant intervenir l'indicatrice de $\{|X_n - X| < \varepsilon\}$... (auparavant il est bon de noté que $X$ admet un moment d'ordre $p$ et même dans ton cas que $X$ est presque sûrement borné par ton $c$).

PS: à mon avis, dire que la suite $(X_n)$ de v.a. est uniformément bornée revient à dire qu'il existe un $c\geq 0$ tel que pour tout $n\geq 0$ on ait $\mathbb{P}(|X_n|\leq c)=1$, ce qui est un peu plus souple que ce que tu supposes.

Bonne journée

Vincent62

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Re : Convergence en probabilité et L^p

Bonjour,

Voilà ce que j'ai dans mon cours concernant ce théorème :

Soit [tex](X_n)[/tex] une suite de variables aléatoires.
Si [tex](X_n)[/tex] converge en probabilité vers [tex]X[/tex] et s'il existe une variable aléatoire [tex]Y[/tex] intégrable par rapport à [tex]P[/tex] telle que [tex]|X_n|\le Y[/tex] pour tout [tex]n[/tex], alors [tex]\lim_n \int X_n(\omega)dP(\omega)=\int X(\omega)dP(\omega)[/tex].

Merci pour l'indication, mais je ne vois pas le lien entre [tex]E(|X_n-X|^p)[/tex] et l'indicatrice de [tex]\{|X_n-X|<\epsilon\}[/tex].

Dernière modification par Vincent62 (02-04-2023 16:40:26)

Glozi

Invité

Re : Convergence en probabilité et L^p

Ok, je vois c'est un cas particulier du théorème suivant :
Théorème :
Soient $(X_n)_n$ et $X$ des variables aléatoires réelles, avec $X_n \in L^1$.
On a l'équivalence suivante :
$X_n \xrightarrow[n\to \infty]{\mathbb{P}}X$ et $(X_n)_n$ est uniformément intégrable $\Leftrightarrow$ $X\in L^1$ et $X_n \xrightarrow[n\to \infty]{L^1}X$.

(Si tu ne sais pas ce que signifie "uniformément intégrable", sache juste que ton hypothèse $|X_n|\leq Y$ avec $\mathbb{E}[Y]<\infty$ implique cette condition d'uniforme intégrabilité.)

Sinon l'idée avec l'indicatrice est la suivante :

$\mathbb{E}[|X_n-X|^p] = \mathbb{E}[[X_n-X|^p \mathbb{1}_{|X_n - X|\leq \varepsilon}] + \mathbb{E}[|X_n-X|^p\mathbb{1}_{|X_n - X> \varepsilon}].$

Le premier terme est petit car on intègre un truc plus petit que $\varepsilon^p$. Le deuxième est petit car $X_n$ converge vers $X$ en proba et car $|X_n-X|^p$ ne peut pas exploser.

Ensuite il faut faire tendre $n$ vers l'infini et $\varepsilon$ vers $0$ dans le bon ordre !