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Vincent62

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J'ai quelques affinités avec...

Bonjour,

Dans un espace affine [tex]E[/tex], on se donne une application [tex]f[/tex] et un point [tex]A[/tex] de [tex]E[/tex]. On définit l'application [tex]f[/tex] par [tex]f(A+tu)=f(A)+t^2u[/tex] pour tout [tex]t[/tex] réel et tout [tex]u[/tex] vecteur de la direction de [tex]E[/tex], que je note [tex]\vec{E}[/tex].
J'essaye de voir si [tex]f[/tex] est une application affine ou pas.

Puisque [tex]t[/tex] réel et que [tex]u\in \vec{E}[/tex] (sous-espace vectoriel), alors [tex]tu\in \vec{E}[/tex]. Je pose [tex]e=tu[/tex].
La relation sur [tex]f[/tex] se réécrit donc [tex]f(A+e)=f(A)+te[/tex].
Posons alors [tex]\vec{f}(e)=te[/tex] pour tout [tex]e\in \vec{E}[/tex].

Résumons : il existe [tex]A\in E[/tex] tel que pour tout [tex]e\in \vec{E}[/tex], [tex]f(A+e)=f(A)+\vec{f}(e)[/tex]. Donc [tex]f[/tex] est une application affine.

Qu'en pensez-vous ?

Dernière modification par Vincent62 (19-04-2023 07:43:21)

Glozi

Invité

Re : J'ai quelques affinités avec...

Bonjour,
Je ne suis pas familier du tout avec les espaces affines (qu'on me corrige si je dis des bêtises !) du coup il faudra sûrement éclairer ma lanterne.

Déjà je ne comprends pas comment $f$ est bien définie ?
En effet, fixons $u\in \vec{E}$ non nul, et $t$ réel non nul. Si j'ai bien compris alors $f(A+tu) =f(A) + t^2 u$.
Maintenant je choisis $u'=u/2$ et $t'=2t$
On a donc : $f(A+t'u') =f(A) + t'^2u'$
d'où $t^2u = t'^2u'$ soit $t^2u=0$ (absurde car on a supposé ni $t$ et $u$ non nuls...)
Pour moi cette définition fonctionnerait si on munit $E$ d'une structure euclidienne, et qu'on s'autorise seulement à choisir $u$ un vecteur unitaire et $t\geq 0$. (par exemple, mais je suis sûrement hors sujet).

Sinon, je ne vois pas pourquoi ton application $\vec{f}$ (si elle aussi est bien definie...) serait linéaire ?

Bonne journée

Vincent62

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Re : J'ai quelques affinités avec...

Merci Glozi,

Oui, y'a pas mal d'incohérences, et dans l'énoncé, et dans ce que j'ai écrit.
Sinon, juste sur la partie linéaire, n'a-t-on pas par exemple que [tex]\vec{f}(e+k)=t(e+k)=te+tk=\vec{f}(e)+\vec{f}(k)[/tex], pour tous e,k éléments du sous-espace vectoriel ?

Dernière modification par Vincent62 (19-04-2023 12:29:06)

Glozi

Invité

Re : J'ai quelques affinités avec...

Ta fonction $\vec{f}$ n'est pas bien définie pour la même raison que ta fonction $f$ ne l'est pas. (le problème étant que ton $t$ dépend de ton $e$ (et aussi d'un $u$) de manière bizarre).
Si j'ai bien compris, tu dis que quelque soit $u\in \vec{E}$ et $t$ réel, alors si $e=tu$ on pose $\vec{f}(e)= te$. Mais alors $e=2t \times (u/2)$ donc $f(e) = (2t)e$ finalement $te= t^2u=0$ quelque soit $t$ et $u$, ça ne va pas... (en gros le problème c'est qu'il y a plein de manières d'écrire $e$ comme $e=tu$ avec $t$ réel et $u$ vecteur, et que ton expression $te=t^2u$ ne donne pas la même valeur pour plusieurs choix différents...)

Sinon même dans le cas euclidien que j'ai tenté d'expliquer dans mon message précédent, l'application $\vec{f}$ ne serait pas linéaire.
En effet soit $u$ unitaire. Posons $e=2u$ alors $\vec{f}(e) = 2e=4u$ et $\vec{f}(u)=1u=u$ on n'a donc pas $\vec{f}(2u)=2\vec{f}(u)$.

Vincent62

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Re : J'ai quelques affinités avec...

Ah oui, j'ai oublié ce que j'avais posé !
Drôle d'exo alors, je l'ai trouvé sur un recueil d'exercices.

Glozi

Invité

Re : J'ai quelques affinités avec...

Hum, en l'état si l'énoncé est bien tel que tu l'as donné, je pense effectivement qu'il y a une erreur...