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Vincent62

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Développement en série de Laurent

Bonjour,

J'essaye de déterminer l'ordre du pôle de [tex]f : z\to \frac{e^{z^2}}{z^5}[/tex] en utilisant un développement de Laurent.

Je développe donc [tex]f[/tex] en série de Laurent en [tex]0[/tex] :

[tex]f(z)=\sum_{n\ge 0}^{+\infty} \frac{z^{2n-5}}{n!}=\frac{1}{z^5}+\frac{1}{z^3}+\frac{1}{2}\frac{1}{z}+\sum_{n\ge 3}^{+\infty} \frac{z^{2n-5}}{n!}[/tex].

Maintenant, si je veux faire apparaître explicitement le terme [tex](z-0)^n=z^n[/tex] dans la somme, comment procéder ?
Faut-il absolument passer par le calcul des coefficients [tex]c_n[/tex] à l'aide de la formule de Cauchy ?

J'essaye d'utiliser le résultat suivant :
Soit [tex]p[/tex] un entier non nul.
[tex]f[/tex] admet un pôle d'ordre [tex]p[/tex] en [tex]a[/tex] si et seulement si le développement en série de Laurent de [tex]f[/tex] en [tex]a[/tex] s'écrit [tex]\sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-a)^n[/tex] avec [tex]a_{-p}\neq 0[/tex].

Merci pour vos conseils !

Gui82

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Re : Développement en série de Laurent

Bonjour,

Tu as déja la réponse en ayant écrit le développement de Laurent de f en 0. Tu as [tex]a_{-5}=1[/tex] et le développement s'arrête là pour les indices négatifs.
Par ailleurs, tu peux aussi déterminer le résidu de f en 0 à partir de ce développement (je ne sais pas si ça t'est demandé par la suite).

Vincent62

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Re : Développement en série de Laurent

Merci Gui 82 !

Chatami

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Re : Développement en série de Laurent

Bonjour, je n'arrive pas à démêler cette égalité :
(exp((it)-exp(i(n+1)t)/(1-exp(it))=(exp(i(n+1)t/2)*(sin(n*t/2)/sin(t/2))

Zebulor

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Messages : 2 230

Re : Développement en série de Laurent

Bonjour,
il faudrait ouvrir une autre discussion... tu as juste à écrire les sin sous forme d exponentielle, puis multiplier numérateur et dénominateur par $e^{it/2}$

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 401

Re : Développement en série de Laurent

Bonsoir,

@Chatami
En quoi ton post constitue-t-il une réponse à la question de Vincent62 ?

Parce que pour l'écrire tu n'as pas eu d'autre choix que :
- de cliquer sur Répondre
- d'écrire directement dans le cadre Réponse rapide

La prochaine fois, en arrivant sur Bibmath par ce chemin : https://www.bibmath.net/forums/viewforum.php?id=9, il te suffira de cliquer sur Nouvelle discussion : une fenêtre s'ouvrira où
- tu donneras un titre à TON sujet
- tu taperas ta question...

Ainsi, tu ne parasiteras pas une discussion en cours avec une difficulté sans rapport.
Je te laisse 24 h pour prendre connaissance de la réponse de Zebulor, après quoi je la supprimerai (@Zebulor : désolé pour toi...), je supprimerai ton post et le mien devenu inutile...

Merci de ta compréhension

      Yoshi
- Modérateur -

Zebulor

Membre expert

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Re : Développement en série de Laurent

Re,

(@Zebulor : désolé pour toi...), je supprimerai ton post et le mien devenu inutile...

Rien de grave cher yoshi et c'est bien normal..