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Vincent62

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fonction de densité

Bonsoir,

Je m'intéresse à une variable aléatoire [tex]X[/tex] de densité [tex]f(x)=e^{-x}1_{[0;+\infty[}(x)[/tex] et à une variable aléatoire [tex]Y[/tex] de densité [tex]f(y)=e^{-y}1_{[0;+\infty[}(y)[/tex]. De plus, [tex]X[/tex] et [tex]Y[/tex] sont supposées indépendantes.

Je souhaite déterminer la densité de la variable [tex]X-Y[/tex].

Je sais que l'on peut passer par un produit de convolution, mais j'essaye de faire sans.

Voici mon plan d'attaque.
Tout d'abord, [tex]X[/tex] et [tex]Y[/tex] étant indépendantes, on a [tex]f_{(X,Y)}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=e^{-x-y}1_{[0;+\infty[}(x)1_{[0;+\infty[}(y)[/tex].
Ensuite, j'utilise de le théorème de changement de variables.
Pour ce faire, je considère l'application [tex]h : (x,y)\to (x,x-y)[/tex]. Je montre que la valeur absolue du jacobien de [tex]h^{-1} : (x,y)\to (x,x-y)[/tex] est non nul et vaut [tex]1[/tex], et que h et [tex]h^{-1}[/tex] sont [tex]C^1[/tex].

Pour l'ensemble de départ, on a [tex](x,y)\in [0;+\infty[\times [0;+\infty[[/tex].
Pour l'ensemble d'arrivée, il faut que [tex]x-y\in [0;+\infty[[/tex], et donc que [tex]y\in ]-\infty;x][/tex]. L'ensemble d'arrivée est donc [tex][0;+\infty[\times ]-\infty;x][/tex].

Ainsi,

[tex]f_{(X,X-Y)}(x,y)=(f\circ \phi^{-1}(x,y))\times 1\times 1_{[0;+\infty[}(x)1_{]-\infty;x]}(y)=e^{-x-(x-y)}1\times 1_{[0;+\infty[}(x)1_{]-\infty;x]})(y)=e^{-2x+y)}\times 1_{[0;+\infty[}(x)1_{]-\infty;x]}(y)[/tex].

Il vient alors que :
[tex]f_{X-Y}(y)=\int_{\mathbb{R}} f_{(X,X-Y)}(x,y)d\lambda(x)=\int_{\mathbb{R}} f_{(X,X-Y)}(x,y)d\lambda(x)=\int_{\mathbb{R}} e^{-2x+y}1\times 1_{[0;+\infty[}(x)1_{]-\infty;x]}(y)d\lambda(x)=\frac{1}{2}e^y1_{]-\infty;x]}(y)[/tex] (après avoir justifié le passage à l'intégrale de Riemann).

Est-ce juste ?
Merci pour votre temps et patience !

Dernière modification par Vincent62 (31-03-2023 17:26:30)

Glozi

Invité

Re : fonction de densité

Bonsoir,
La démarche est louable, mais à la fin ton résultat dépend d'un $x$, curieux n'est-ce pas ?
Fais attention à ton espace d'arrivée (lui aussi dépend de $x$ !), Normalement ce n'est pas un un produit cartésien :)
Je te conseille de noté $z=x-y$ au lieu de continuer à l'appeler $y$ on y verra plus clair (par exemple écrire $\phi^{-1}(x,z)$), enfin c'est juste car personellement j'ai du mal à comprendre sinon :)
Bonne soirée

Vincent62

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Re : fonction de densité

Bonjour Glozi. Effectovement, c'est louche !
Donc ce qui cloche, c'est l'ensemble d'arrivée.
Je ne vois pas vraiment ce que cela change que de poser [tex]z=x-y[/tex], car on a bien, sauf erreur, que [tex]\phi^{-1}(x,y)=(x,x-y)[/tex].

Glozi

Invité

Re : fonction de densité

Bonjour,
Oui, mais c'est surtout pour la clarté de la présentation, on peut dire "posons $Z=X-Y$, calculons la densité $f_Z(z)$ en $z\in \mathbb{R}$".
Sinon, ce qui cloche à mon avis c'est surtout ta dernière ligne (et surtout ta dernière égalité).
Bonne journée

Vincent62

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Re : fonction de densité

Je vois.
Bon, j'abandonne cette méthode, je vais passer à un produit de convolution.

Dernière modification par Vincent62 (31-03-2023 17:24:19)

Glozi

Invité

Re : fonction de densité

Normalement, ce seront les mêmes calculs... (ta première méthode revient essentiellement à redémontrer qu'on obtient la densité d'une somme de deux v.a.indépendantes en faisant un produit de convolution des densités).

Vincent62

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Re : fonction de densité

Bonjour Glozi,

Voilà où j'en suis, si jamais tu as un peu de temps : https://sendeyo.com/show/1b8de9a434

Bonne journée !

Dernière modification par Vincent62 (01-04-2023 09:18:10)

Glozi

Invité

Re : fonction de densité

Bonjour,
Je trouve qu'il a beaucoup de lignes, pour arriver enfin à dire qu'on a affaire à un produit de convolution ! Cependant tout m'a l'air correct jusque là.
Sinon, à la fin quid du cas $x<0$ ?

PS : tu raisonnes avec $\mathbb{1}_B$, plus généraement, tu peux dire : prenons $h : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue bornée.
Alors posons $Z=X-Y$.
$\mathbb{E}[h(Z)] = \mathbb{E}[h(X-Y)] = \int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}} h(x-y)f_X(x)dx\right)f_Y(y)dy$ (par Fubini).

Dans l'intégrale la plus intérieure on fait le changement de variable $z=x-y$ (d'où $dz=dx$ car $y$ est fixé)
On obtient :
$\mathbb{E}[h(Z)]= \int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}} h(z)f_X(z+y)dz\right)f_Y(y)dy$.
On refait un coup de Fubini et on obtient :
$\mathbb{E}[h(Z)] = \int_{\mathbb{R}}h(z)\left(\int_{\mathbb{R}}f_X(z+y)f_Y(y)dy\right)dz$.
Puisque $h$ est une fonction continue bornée générale, on déduit : $f_Z(z) = \int_{\mathbb{R}}f_X(z+y)f_Y(y)dy$.

C'est essentiellement la même chose que tu as écrit mais en plus rapide non ? (mais n'est pas considéré comme un résultat de cours ?)

Bonne journée

Vincent62

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Re : fonction de densité

Salut Glozi,

Merci pour ton retour ! Je souhaitais essentiellement refaire la démonstration, pour bien saisir le mécanisme.
J'ai oublié le cas [tex]x \ge 0[/tex] en effet !
Donc si [tex]x\le 0[/tex], alors [tex]-x\ge 0[/tex] et donc [tex][0;+\infty[\cap [-x;+\infty[=[-x;+\infty[[/tex], et je trouve alors que [tex]f_{X-Y}(x)=\frac{1}{2}e^{x}[/tex].

Finalement, [tex]f_{X-Y}(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}1_{\mathbb{R}}(x)[/tex].

Glozi

Invité

Re : fonction de densité

Oui c'est la bonne réponse,
Notons que $X-Y \overset{(d)}{=} Y-X$ (égalité en loi), et donc on pouvait prédire le fait que $f_{X-Y}$ est une fonction paire !
Bonne journée

Vincent62

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Re : fonction de densité

Merci Glozi !
Je vas reprendre mon premier post et le corriger.

Dernière modification par Vincent62 (02-04-2023 10:06:00)