Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 Re : Leçons de Capes » Utilisation des nombres complexes en géométrie. Applications » 26-05-2021 13:19:43

Bonjour Amandiine,

  Commençons par les prérequis sur cette leçon : il faut admettre que l'on sait ce qu'est un nombre complexe (sous forme algébrique) et connaitre les opérations algébriques usuelles.

La leçon pourrait alors commencer par introduire le plan complexe, l'affixe d'un point, d'un vecteur, et retraduire en termes d'affixes la recherche du milieu d'un segment et autres....

Ensuite, à mon avis, il y a deux choix :
1. supposer connu le module et l'argument, et les interpréter en termes géométriques.
2. définir le module et l'argument à partir du plan complexe.

Dans le programme actuel de "Maths Expertes", c'est plutôt la voie 2 qui est choisie. Par exemple, si $z$ est un nombre complexe et $M$ le point du plan complexe d'affixe $z$, on définit le module de $z$ comme la distance $OM$. C'est plus cohérent de procéder ainsi, car de toute façon tu as besoin de trigonométrie pour définir l'argument. La seule chose qui me fait hésiter avec 1., c'est le titre de la leçon "Utilisation....".

Mettons que tu choisisses 2. Tu définis donc module et argument à l'aide de considérations géométriques, tu énonces leurs principales propriétés, et tu vas très vite faire la forme trigonométrique (ou exponentielle, c'est pareil) des nombres complexes.

Viens ensuite le morceau de choix. Les applications ou utilisation des nombres complexes en géométrie (je ne comprends pas très bien la différence entre utilisation et applications....). Là, tu as vraiment le choix. Les livres regorgent d'exercices, il y en a plein sur ce site aussi d'ailleurs. Voici quelques exemples :
* construction à la règle et au compas du pentagone régulier
* caractérisation des triangles équilatéraux à l'aide des affixes des sommets
* plein de configurations géométriques qu'il est plus facile d'étudier avec des nombres complexes et leurs affixes. Attention, une utilisation, ce n'est pas : soit A d'affixe ..., soit B d'affixe ..., soit C d'affixe ..., démontrer que ABC est rectangle. Une utilisation, c'est soit A, B, C trois points du plan vérifiant.... (des propriétés géométriques qui a priori ne mentionnent pas les nombres complexes), démontrer que .... (et la démonstration fait utiliser des nombres complexes).

Capesman.

#2 Re : Leçons de Capes » Variables aléatoires réelles à densité » 21-05-2021 11:09:30

Bonjour,

  Oui, cela me semble "acceptable", je ne sais toutefois pas trop ce que tu comptes mettre dans la partie I.1.
Concernant la loi normale, elle est presqu'au lycée puisqu'au programme de BTS....

F.

#3 Re : Leçons de Capes » Exemples de dénombrement dans différentes situations » 18-05-2021 22:18:35

Bonsoir,

  Bof.... On peut en parler à l'oral, par exemple en introduction, mais je ne pense pas qu'il faut en faire tout un plat!

Capesman.

#4 Re : Leçons de Capes » Variables aléatoires discrètes » 18-05-2021 22:17:26

Bonsoir,

  Clairement, cette leçon est centrée sur les lois discrètes usuelles. Je ne pense pas qu'il faille passer un long moment sur des généralités sur les variables aléatoires. Moi, je définirai directement ce qu'est une variable aléatoire discrète (l'ensemble des valeurs prises est fini ou dénombrable), je ferai la théorie des variables aléatoires discrètes (type définition de l'espérance et ses propriétés, etc...), puis je m'attaquerai aux lois de probabilité discrètes usuelles classiques, particulièrement la loi binomiale et la loi géométrique (en insistant sur sa propriété d'absence de mémoire).

Capesman

#5 Re : Leçons de Capes » Exemples de dénombrement dans différentes situations » 14-05-2021 11:02:09

Bonjour,

  A mon humble avis, dans une leçon intitulée "Exemples de dénombrement", la formule du binôme ne s'impose pas!

Capesman.

#6 Re : Leçons de Capes » Exemples de modèles d'évolution » 30-04-2021 13:28:01

Bonjour,

  La lecture du programme de maths complémentaires pour cette leçon donne en effet de nombreuses pistes.
Voici ce qui est écrit :

Descriptif
Il s’agit ici de modéliser des phénomènes qui dépendent du temps, à l’aide de suites ou de fonctions d ’une variable réelle. Les  suites  ou  fonctions  considérées  peuvent  être  données a  priori ou être  obtenues  lors d’une résolution de problème: suites vérifiant une relation de récurrence, fonctions solutions d’une équation différentielle, ajustement statistique d’une série chronologique. La mise en regard des modèles discrets et des modèles continus est un objectif important. Ce  thème  très  large  peut être  étudié  au  fil  de l’année  en  fonction  des  besoins  ou  de l’avancée des contenus.

Problèmes possibles
* Évolution d’un capital, amortissement d’une dette.
* Loi de décroissance radioactive:modèle discret, modèle continu.
* Décharge, charged’un condensateur, à partir de l’équation différentielle.
* Loi de refroidissement de Newton (modèle discret).
* Chute d’un corps dans un fluide visqueux.
* Dynamique des populations:modèle de Malthus(géométrique),modèle de Verhulst (logistique) discret $N_{t+1}=N_t+r N_t(k-N_t)$, ou continu: $y’=ay (b-y)$.
* Modèle proie prédateur discrétisé: évolution couplée de deux suites récurrentes.

Contenus associés
*Suites récurrentes.
* Suites géométriques. Fonction exponentielle.
* Suites arithmético-géométriques. Équation différentielley’=ay+b.
* Limites.

Exemples d’algorithme
* Calcul des termes d’une suite.
* Recherche de seuils.
* Méthode d’Euler.

Capesman.

#7 Leçons de Capes » Fonctions convexes - Applications » 06-11-2020 18:21:25

capesman
Réponses : 6

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Fonctions convexes. Applications.

Capesman.

#8 Leçons de Capes » Exemples de modèles d'évolution » 06-11-2020 18:19:46

capesman
Réponses : 8

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Exemples de modèle d'évolution.

Capesman.

#9 Leçons de Capes » Primitives, équations différentielles » 06-11-2020 18:19:11

capesman
Réponses : 0

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Primitives, équations différentielles.

Capesman.

#10 Leçons de Capes » Utilisation des nombres complexes en géométrie. Applications » 06-11-2020 18:18:11

capesman
Réponses : 7

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Utilisation des nombres complexes en géométrie. Applications.

Capesman.

#11 Leçons de Capes » Exemples de dénombrement dans différentes situations » 06-11-2020 18:16:26

capesman
Réponses : 14

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Exemples de dénombrement dans différentes situations.

Capesman.

#12 Re : Leçons de Capes » [Ancienne leçon] - Problèmes conduisant à une modélisation par... » 05-04-2020 23:12:30

C'est bien pour cela que je pense qu'il faut partir du problème physique de diffusion des gaz et expliquer la modélisation par une urne.

#13 Re : Leçons de Capes » [Ancienne leçon] - Problèmes conduisant à une modélisation par... » 05-04-2020 19:16:00

Bonjour,

  Pour la fonction exponentielle, un exemple tout trouvé est la désintégration radioactive :
Des comptages ont montré que le nombre de noyaux radioactifs d’un échantillon se désintégrant sur une courte durée est proportionnel à la fois au nombre de noyaux présents à l’instant initial et à la durée d’observation.

Autrement dit, si on note N(t) le nombre de noyaux présents à l'instant $t$, et $\Delta$ l'intervalle de temps,
$N(t)-N(t+\Delta)=\lambda N(t)\times \Delta$.
En faisant tendre $\Delta$ vers $0$, on montre que $N$ est dérivable et vérifie l'équation différentielle $N'(t)=-\lambda N(t)$. Voilà pour la partie modélisation. Et ensuite, on peut dérouler plein de questions autour de la fonction exponentielle (par exemple trouver $\lambda$ en connaissant le temps de 1/2 vie, etc....)

Pour les probabilités, il y en a plein les livres de Terminale S, notamment la spécialité (autour des graphes probabilistes, des matrices,....).
Un bel exemple de modélisation est le modèle des urnes d'Ehrenfest : Dans un récipient divisé en deux enceintes par une paroi poreuse sont réparties N molécules de gaz. A chaque unité de temps une molécule choisie au hasard change d’enceinte. Ce modèle a été proposé par Tatiana et Paul Ehrenfest en 1907 et décrit un modèle simplifié de diffusion gazeuse. Il illustre des propriétés dérivées des fondements de la mécanique statistique.
Il y a alors plein d'exercices niveau Terminale partant de cette modélisation.

Capesman.

#14 Re : Leçons de Capes » Suites numériques. Limites » 03-04-2020 21:40:17

Bonjour,

  Je pense que tu passes trop de temps dans les généralités, et pas assez sur la partie principale de ta leçon, la partie 3.
Je la construirais différemment. Je ne parlerai pas du tout du 1) A) et du 1) B), mais j'attaquerai à partir du 3) en définissant la limite, et tout ce qui tourne autour (en gros, une première partie qui correspondrait à 3) A) jusque 3) E) dans ton plan). Je ferais ensuite un paragraphe sur la monotonie et la suite (en gros, 1)C - évoquer rapidement 1)D)? puis 3) G). Puis je ferais un gros paragraphe d'exemple, avec des suites explicites, les exs de suites aritmétiques et géométriques, etc....
  Un des avantages est que les choses fondamentales sont dites au début, c'est plus facile de raccourcir la fin que le début. Et on n'a pas le temps de tout dire sur les suites arithmétiques et géométriques, c'est assez clair.

Capesman.

#15 Re : Leçons de Capes » Différents types de raisonnement en mathématiques » 01-04-2020 12:04:47

Bonjour,

  On peut parler de condition nécessaire/suffisante par ce que c'est à la base du raisonnement par contraposée et par équivalence, le reste est je pense hors-sujet.

Capesman.

#16 Re : Leçons de Capes » Système d'équations et systèmes d'inéquations lin.. » 27-03-2020 23:18:51

Hello,

  Dans le rapport 2019, le jury précise un peu sa pensée concernant cette leçon :
"Son intitulé incite à ne pas se cantonner au cadre linéaire (équations ou inéquations s’y ramenant, mais aussi équations ou inéquations trigonométriques). Les exemples proposés doivent illustrer des méthodes de  résolution  différentes.  Pour  les  systèmes  d’équations  linéaires,  les  candidats  doivent  maîtriser l’algorithme du pivot de Gauss.".

A+
Capesman.

#17 Re : Leçons de Capes » Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle » 27-03-2020 23:11:05

Re-

  Dans le rapport du jury 2019, il est précisé : "Certains candidats ne savent pas définir correctement une probabilité.Quand la représentation par un arbre pondérée est utilisée, peu de candidats sont capables de justifier leurs calculs par les principes mathématiques sous-jacents (probabilités conditionnelles). Parmi les démonstrations à connaître, on peut citer celle des probabilités totales.".

Capesman.

#18 Leçons de Capes » Exemples de résolution d'équations (méthodes exactes, approchées...) » 27-03-2020 23:07:13

capesman
Réponses : 4

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Exemples de résolution d'équations (méthodes exactes, méthodes approchées).

Capesman.

#19 Leçons de Capes » Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$. Applications » 27-03-2020 23:06:03

capesman
Réponses : 2

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$. Applications.

Capesman.

#20 Leçons de Capes » Pourcentage et taux d'évolution. Applications » 27-03-2020 23:05:10

capesman
Réponses : 3

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Pourcentage et taux d'évolution.

Capesman.

#21 Leçons de Capes » Congruences dans $\mathbb Z$. Applications » 27-03-2020 23:04:25

capesman
Réponses : 8

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Congruences dans $\mathbb Z$. Applications.

Capesman.

#22 Re : Leçons de Capes » Multiples et diviseurs dans $\mathbb N$ - Nombres premiers » 25-05-2019 21:51:10

Bonjour,

Je pense que la notion d'entiers premiers deux à deux, et encore de théorème de Bézout (et ses conséquences) dépassent le cadre de cette leçon. Démontrer le théorème de Bézout, c'est faire l'arithmétique dans Z, pas dans N. Il y a déjà assez de choses à faire comme cela : la décomposition en facteurs premiers est un théorème délicat, on peut l'appliquer au premier paragraphe pour déterminer quand un nombre en divise un autre, il ne faut pas oublier de donner des algorithmes pour déterminer si un nombre est premier, ou pour déterminer tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre donné (crible d'Eratosthène….).

Capesman.

#23 Re : Leçons de Capes » [Info 19] - Exemples d'activité relevant de l'optimisation combi... » 04-02-2019 22:26:26

Bonsoir,

  Je pense que pendant le déroulement de la leçon, tu n'auras pas le temps de présenter la résolution de ces activités. Mais tu dois te tenir prête pour la partie développement, ou pour les questions du jury.

Capesman.

#24 Re : Leçons de Capes » Relations métriques et angulaires dans le triangle » 06-12-2018 23:43:58

Bonjour,

  Il y a beaucoup de choses à dire dans cette leçon, et je ne suis pas sûr que les formules trigonométriques d'addition etc... soient au cœur de cette leçon. A mon avis, on peut en parler mais on peut aussi s'en dispenser.
En revanche, ce dont tu ne peux pas te passer, c'est d'améliorer ton orthographe!

Capesman.

#25 Re : Leçons de Capes » [Info 26] - Exemples d'algorithmes utilisant un générateur... » 27-11-2018 22:56:44

Bonjour,

  Le rapport du jury 2018 donne des pistes pour cette leçon :

"Il  s’agit  dans  cette  leçon  de  présenter  l’utilisation  de  générateurs  pseudo-aléatoires  dans  les algorithmes.  Toute  discussion lancée  sur  le  degré  d’aléatoire  de  ces  générateurs  est explicitement hors sujet. On pourra supposer dans toute la leçon qu’on dispose d’une fonction random() qui fournit un réel aléatoire de l’intervalle [0,1] selon une loi uniforme.

On pourra d’abord présenter des algorithmes qui permettent à partir de cette fonction de fournir un entier aléatoire entre 0 et $N-1$ selon une loi uniforme, puis s’intéresser à la construction d’objets mathématiques classiques, comme un tableau de taille $M$ de nombres entiers aléatoires entre 0 et $N-1$. On pourra aussi s’intéresser à des exemples plus complexes, par exemple utiliser Python pour  créer  une  permutation  aléatoire  des  entiers  de  l’intervalle $[0,N-1]$,  etc.  On  peut  aussi envisager le lien avec la géométrie et utiliser Scratch pour dessiner des figures aléatoires dans le plan.

On  pourra  ensuite  utiliser  le  générateur  aléatoire  dans  le  cadre  d’algorithmes  classiques.  Par exemple,  certains  tris  sont  plus  efficaces  si  on  mélange  aléatoirement  les  données  avant  de  les trier.

Une autre utilisation consiste à tester l’efficacité d’algorithmes classiques sur des jeux de données aléatoires pour évaluer leur complexité en moyenne. La difficulté est ici de bien contrôler la loi de génération des données. Toute discussion avancée sur cette question est explicitement hors sujet, mais il est demandé au candidat d’être conscient du problème.

On peut aussi utiliser l’aléatoire pour des méthodes de résolution de type Monte-Carlo. Un exemple classique est le calcul de $\pi$. L’algorithme peut être facilement programmé en Python ou en Scratch. (Malheureusement, la convergence de la méthode simple est très lente.)

Une autre utilisation réside dans la simulation d’expériences probabilistes."

Capesman

Pied de page des forums