Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Pour déterminer $R_n$ il faut effectuer la division euclidienne de $A$ par $P^n$. Ensuite il faut s'intéresser au quotient $\frac {R}{P^n}$ où $R$ est le reste de la division (je trouve la notation $R_n$ étrange pour ce qui est le quotient de la division...). Pour les  $A_0$ à $A_{n-1}$ il faut écrire leur forme générale avec des coefficients. Dans notre cas, ce sont des polynômes de degré 1 puisque $P$ est irréductible de degré 2. Comme $n=3$, il y aura trois polynômes à trouver $A_0=a_0x+b_0$, $A_1=a_1x+b_1$ et $A_2=a_2x+b_2$.

Si on part de la forme \[\frac{A_0}{P^3}+\frac{A_1}{P^2}+\frac{A_2}P=\frac R{P^n}\] et qu'on met le membre de gauche au même dénominateur on obtient
\[A_0(x)+A_1(x)P(x)+A_2(x)P^2(x)=R(x)\]

On a donc une égalité entre deux polynômes de degré 6 qui, une fois identifiés coefficient à coefficient, donnera un système de 6 équations à 6 inconnues. À toi d'écrire et résoudre ce système dans ton cas.

Salutations,
Thibault

Hello !

Bien vu effectivement ça réduit le travail mais il faut quand même une autre idée.

Effectivement ton résultat est correct mais ma question était justement de savoir comment résoudre ce problème uniquement à la main et avec une feuille de papier. Ce sont les conditions du concours duquel est tiré le problème.
Pour l'erreur avec l'approximation qui est donnée : elle n'a aucune importance puisque elle est suffisante pour que l'énoncé ait les solutions exactes (les valeurs de $R$ proches au millième près d'un entier). Et franchement... une erreur relative de 50% sur... une erreur relative inférieure à 0,1%, c'est pas la mer à boire :D

De mon côté un collègue a eu d'excellentes idées pour résoudre ça :

Je trouve très intéressant de voir les fractions continues exploitées pour résoudre ce type de problème et c'est un très bon outil à maîtriser que je connaissais peu. Mon collègue à étudié les maths trente avant moi et je pense qu'à l'époque on échappait pas aux fractions continues mais ça a été mon cas durant toutes mes études. Je vais me pencher la dessus avant les demies-finales ^^

Amicalement,
Thibault

La deuxième équation n'est rien d'autre que la forme duale de la première. Donc si tu as droit au théorème d'inversion c'est dans la poche. Sinon, il faut triturer un peu à l'aide du théorème de Fubini.

Salutations,

Thibault

Euh ...

[tex]\frac d{dr}\left(\frac{x}{\sqrt{r^2+x^2}}\right)=\frac {-xr}{(r^2+x^2)^{\frac 32}}[/tex]

Modèle du problème:
La sphère [tex]\mathbb S^2[/tex] munie de la mesure de Lebesgue normalisée [tex]\lambda[/tex]. f : [tex]\mathbb S^2\rightarrow\{0,1\}[/tex] une fonction mesurable telle que [tex]\lambda(f^{-1}(\{1\}))>\frac12[/tex].

Supposons que deux points antipodaux ne peuvent prendre la valeur 1 simultanèment. Alors le symétrique de [tex]f^{-1}(\{1\})[/tex] est inclus dans [tex]f^{-1}(\{0\})[/tex]. Donc [tex]\lambda(f^{-1}(\{0\}))\ge\lambda(f^{-1}(\{1\}))>\frac 12[/tex]. Au final, [tex]\lambda(\mathbb S^2)=\lambda(f^{-1}(\{1\}))+\lambda(f^{-1}(\{0\}))>1[/tex] ce qui est absurde.
Moralité, il existe au moins deux point antipodaux qui prennent la valeur 1.

Tadaaaa! C'est comme Nérosson mais en langage matheux incompréhensible.

Notons qu'en raffinant un peu on peut montrer qu'il existe une partie mesurable de mesure [tex]\frac 12 (\lambda(f^{-1}(\{1\}))-\frac 12)[/tex] couverte d'eau et dont le symétrique est couvert d'eau.

Salutations,

Thibault

Voilà ma solution pour la question 1).

Par contre, c'est bien parce que je suis jeune et frais que j'arrive à faire ce genre de calculs de tête ... Si une solution élégante et simple il y a, je ne vois pas.

Salutations,

Thibault

Une autre question qui me vient à l'esprit.

Si on part d'un nombre entier quelconque et qu'on construit une suite à l'aide du même procédé la suite peut-elle être périodique? La réponse est oui : 22 engendre une suite périodique de période 1. Est-ce le seul ?

Je n'ai (pour l'instant) pas la réponse mais la question me plait !

Pour la route, complétez la suite suivante :

1
11
101
111011
11110101
100110111011
...

Thibault

C'est drôle ça, moi j'avais :

15 = (2+3)*3
28 = (3+4)*4
45 = (4+5)*5
66 = (5+6)*6
donc :
y = (6+7)*7 = 91

Deux formules différentes qui arrivent au même résultat ... Heureux hasard ou vérité profonde ?

Salutations,

Thibault

Salut Yoshi

Ton idée pour le quatrième soir est excellente! Pourquoi ne pas faire la même chose le deuxième ?

Thibault

Dans ce cas tu aimerais trouver une suite de fonctions continues qui tend (dans L2) vers une fonction discontinue.

Exemple :

[tex]f_n(x)=\begin{cases} -1 \text{ si }x<\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\\
1 \text{ si }x>\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\\
nx-\frac{n}{2}\text{ si }\frac{1}{2}-\frac{1}{n}<x<\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\end{cases}[/tex]

Salutations,

Thibault

Salut,

Sans connaitre l'espace particulier c'est assez difficile de répondre. Disons qu'en règle générale, il faut comprendre la structure de ton espace et être capable d'en sortir.
Si on te demande de montrer que l'ensemble des fonctions dérivables sur un domaine n'est pas complet, cherche une suite qui converge (dans un espace plus gros évidemment) vers une fonction qui, elle, n'est pas dérivable.

En espérant t'avoir aidée,

Salutations,

Thibault

Salut,

Je ne vois pas du tout de logique dans la 6e colonne ... J'ai donc y mais ni x, ni z.

Thibault