Forum de mathématiques - Bibm@th.net

stormin

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Démonstration Plancherel

Salut tout le monde,
Je veux démontrer que:

soit x(t) et y(t) deux signaux et X(f) et Y (f) leur Transformée de Fourier

x(t)*y(t) <------------>X(f) Y(f)

X(f)*Y(f) <------------> x(t) y(t)

j'ai deja effecué x(t)*y(t) -----------> X(f) Y(f),mais pour X(f) Y(f) ----------------->x(t)*y(t),je suis coiné
et la meme chose pour la deuxieme.

merci

thadrien

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Re : Démonstration Plancherel

Salut,

Tu as fait comment pour montrer la première ? C'est pour que je te montre quelles transformations faire pour démontrer la 2.

A+

Thibault

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Re : Démonstration Plancherel

La deuxième équation n'est rien d'autre que la forme duale de la première. Donc si tu as droit au théorème d'inversion c'est dans la poche. Sinon, il faut triturer un peu à l'aide du théorème de Fubini.

Salutations,

Thibault

Valentin

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Re : Démonstration Plancherel

Salut,
En fait,  [tex]x\left(t\right)\times y\left(t\right)[/tex] revient à "convoluer" les deux signaux, on peut donc utiliser la transformée de Fourier directe et inverse!
Valentin

Valentin

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Re : Démonstration Plancherel

Salut,
Si X(f) est la transformée de Fourier de x(t), alors sa transformée inverse est:
[tex]x\left(t\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }X\left(f\right)\exp \left(j2\pi ft\right)df[/tex]
Tu auras donc  pour (x*y)(t):
[tex]\left(x\times y\right)\left(t\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }X\left(f\right)Y\left(f\right)\exp \left(j2\pi ft\right)df[/tex]
Tu as juste à utiliser les propriétés de la linéarité de transformée de Fourier en temps continu...
Valentin