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botot

Invité

axb=bxa [Résolu]

bonjour

comment prouver que la multiplication et une opération commutative svp?

freddy

Membre chevronné

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Re : axb=bxa [Résolu]

Salut,

l'opération * commute ssi :

a*b=c et b*a=c, avec a, b et c éléments du même ensemble E et * loi de composition interne dans E.

C'est cela qu'il faut prouver.

Valentin

Membre

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Re : axb=bxa [Résolu]

salut,
en revanche, il serait difficile de prouver que le produit de deux matrices commute! (je dis cela entre parenthèse si ce n'est pas ton niveau!)

yoshi

Modo Ferox

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Re : axb=bxa [Résolu]

Bonjour,

prouver que la multiplication est une opération commutative.

Plus facile à dire qu'à faire...
Je ne connais pas la méthode.
Pour moi, la démonstration (j'en ai imaginé une) doit d'abord se faire dans [tex]\N[/tex].
Et ensuite, on construit la multiplication dans les ensembles suivants en lui imposant d'avoir les mêmes propriétés + un inverse (sauf 0 bien sûr).
Voilà ce  à quoi j'ai pensé.
Il faut d'abord définir la multiplication :
[tex]a,b \in \N, a \times b= \underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{b\;fois}[/tex]
a est le multiplicande et b le multiplicateur.

Au passage, on retrouve la raison pour laquelle, moi je râlais systématiquement (alors que mes collègues, non) de voir écrit : 3 livres à 5 € coûtent 3 x 5 = 15 €, je voulais 5 x 3...
Fin de la parenthèse.
Si b = a ou b = 1, c'est évident.
Je me penche sur [tex]a \not = b[/tex]
Et je choisis d'abord b = a - 1.
Je calcule [tex]a \times (a -1) =  \underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{a-1\;fois}[/tex]
Sans utiliser la distributivité, je peux écrire (en rajoutant et en enlevant a) :
[tex]a \times (a -1) =  \underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{a-1\;fois}= \underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{a\;fois}- a a \times a - a[/tex]
[tex](a -1) \times a =  \underbrace{(a-1)+(a-1)+(a -1)+\cdots+(a-1)}_{a\;fois}= a\times -a[/tex]
Mais en l'écrivant, j'ai la très nette impression que je fais appel à la commutativité sans le dire, et à l'associativité !?
Je vais faire comme si...
J'ai donc a x (a-1)= (a-1) x a
Je pose [tex]a_1=a-1[/tex]
J'applique le même procédé aux produits [tex]a x a_1 \text{ et } a_1 x a[/tex].
Je trouve l'égalité.
Je prends [tex]n \in \N, 1 \leq n\leq a[/tex].
Je pose [tex]a_n= a-n[/tex] et je suppose vrai pour n que [tex]a\times a_n = a_n \times a[/tex]
Reste à prouver (facilement que la propriété est vraie) pour n+1 et établir ainsi la récurrence.

Quelqu'un a-t-il une meilleure idée ou a-t-il connaissance de l'url où je pourrais consulter la démo ?
Merci d'avance.

@+

Thibault

Membre

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Re : axb=bxa [Résolu]

Pour moi la commutativité de la multiplication dans [tex]\mathbb R[/tex] est axiomatique.
Premier cours de calcul différentiel et intégral : 4 axiomes pour définir les nombres réels dont "[tex]\mathbb R[/tex] est un corps commutatif archimédien"

Salutations,

Thibault

thadrien

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Re : axb=bxa [Résolu]

Salut,

D'après un cours d'analyse que j'ai eu :

- La commutativité de la multiplication sur R se démontre à partir de celle sur Q.
- Celle sur Q se démontre à partir de celle sur N.
- Celle sur N se démontre à partir des axiomes de l'arithmétique de Peano. Par contre, je ne sais pas comment.

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 385

Re : axb=bxa [Résolu]

Salut,

Merci les gars, vous confirmez ce que je pressentais : j'avais bien conscience au fond de moi de me heurter à un mur.

Par contre, axiomes de Peano, ça me dit vaguement quelque chose : on avait effleuré le sujet en Terminale Math Elem : quelqu'un a-t-il un lien pour cette démo genre "poupées russes" ?

@+