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haf0

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décomposition en élèments simples dans R[X]

Bonjour à tous et à toutes,

Au préalable, je vais présenter l'énoncé de l'exercice dont je vais parler.

" Soit A et P deux polynômes de K[X]. On suppose que P est non nul et ne divise pas A.
1) pour tout entier naturel non nul n, il existe des polynômes A₀, A₁, ..., A_n−1, R_n uniques tels que :

[tex]A = A_0 + A_1P + A_2P^2 + .... + A_{n-1}P^{n-1} + R_nP^n[/tex], avec deg(A_k)< deg(P), 0 ≤ k ≤ n − 1.

2) Si P est irréductible, la décomposition en éléments simples de la fraction [tex]\dfrac{A}{P_n}[/tex] est [tex]\dfrac{A_0}{P^n} +\dfrac{A_1}{P^{n-1}} + ... + \dfrac{A_{n-1}}{P}  + R_n[/tex] "

3) on pose [tex] F= \dfrac{3X^8 + 4X^2 +1}{(X^2 +2X +3)^3}[/tex]  "

- Je veux savoir :

1-Comment utiliser les résultats des question 1 et 2 au-dessus, pour décomposer F
2- Est-ce qu'il existent des autres méthodes pour déterminer la partie entière (polynomiale) de F autre que la méthode classique ( division euclidien, qui sera très longue dans ce cas)
3-En grosso-modo, je cherche comment décomposer F en éléments simples dans R[X] par des méthodes restreintes et simples.

Merci bien, je vous souhaite une belle journée.

Dernière modification par haf0 (12-01-2022 16:53:54)

Thibault

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Re : décomposition en élèments simples dans R[X]

Bonjour,

Pour déterminer $R_n$ il faut effectuer la division euclidienne de $A$ par $P^n$. Ensuite il faut s'intéresser au quotient $\frac {R}{P^n}$ où $R$ est le reste de la division (je trouve la notation $R_n$ étrange pour ce qui est le quotient de la division...). Pour les  $A_0$ à $A_{n-1}$ il faut écrire leur forme générale avec des coefficients. Dans notre cas, ce sont des polynômes de degré 1 puisque $P$ est irréductible de degré 2. Comme $n=3$, il y aura trois polynômes à trouver $A_0=a_0x+b_0$, $A_1=a_1x+b_1$ et $A_2=a_2x+b_2$.

Si on part de la forme \[\frac{A_0}{P^3}+\frac{A_1}{P^2}+\frac{A_2}P=\frac R{P^n}\] et qu'on met le membre de gauche au même dénominateur on obtient
\[A_0(x)+A_1(x)P(x)+A_2(x)P^2(x)=R(x)\]

On a donc une égalité entre deux polynômes de degré 6 qui, une fois identifiés coefficient à coefficient, donnera un système de 6 équations à 6 inconnues. À toi d'écrire et résoudre ce système dans ton cas.

Salutations,
Thibault

Dernière modification par Thibault (12-01-2022 08:39:20)

haf0

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Re : décomposition en élèments simples dans R[X]

Bonjour,

  j'ai le même point de vue quant à R_n .. peut être cela veut dire que R est le n-ième monôme de A;;
je vais essayer de voir comment faire.
 
  Merci bien,
  Hany