Forum de mathématiques - Bibm@th.net

franklino

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les mers,les oceans et les terres

Sur une planète sphérique, les mers et océans couvrent une superficie totale plus grande que celle des terres.
Montrer que l’on peut trouver deux points de l’espace de la planète, diamétralement opposés, tous deux situés en pleine mer

nerosson

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Re : les mers,les oceans et les terres

Salut, Franklino,
Ici Nérosson, spécialiste des réponses pifométriques.
Je pense que si chaque point liquide de la planète avait un opposé terrien, alors il y aurait au moins autant de surface terrestre que de surface liquide, ce qui est contraire à l'énoncé.

Thibault

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Re : les mers,les oceans et les terres

Modèle du problème:
La sphère [tex]\mathbb S^2[/tex] munie de la mesure de Lebesgue normalisée [tex]\lambda[/tex]. f : [tex]\mathbb S^2\rightarrow\{0,1\}[/tex] une fonction mesurable telle que [tex]\lambda(f^{-1}(\{1\}))>\frac12[/tex].

Supposons que deux points antipodaux ne peuvent prendre la valeur 1 simultanèment. Alors le symétrique de [tex]f^{-1}(\{1\})[/tex] est inclus dans [tex]f^{-1}(\{0\})[/tex]. Donc [tex]\lambda(f^{-1}(\{0\}))\ge\lambda(f^{-1}(\{1\}))>\frac 12[/tex]. Au final, [tex]\lambda(\mathbb S^2)=\lambda(f^{-1}(\{1\}))+\lambda(f^{-1}(\{0\}))>1[/tex] ce qui est absurde.
Moralité, il existe au moins deux point antipodaux qui prennent la valeur 1.

Tadaaaa! C'est comme Nérosson mais en langage matheux incompréhensible.

Notons qu'en raffinant un peu on peut montrer qu'il existe une partie mesurable de mesure [tex]\frac 12 (\lambda(f^{-1}(\{1\}))-\frac 12)[/tex] couverte d'eau et dont le symétrique est couvert d'eau.

Salutations,

Thibault

Dernière modification par Thibault (16-04-2010 15:00:58)

jpp

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Re : les mers,les oceans et les terres

salut .
           je vais essayer de faire plus simple . Imaginons que la surface des terres tende vers  1/2 SPHERE  par
          valeur inférieure , donc entièrement placée dans l hémisphère nord par exemple.
          Pour le moment on dire que , au moins il y a une infinité de solution sur l'équateur.
          On peut maintenant fabriquer un ecumoir avec trous triangulaires equilateraux (nid d'abeille ) en         
          considerant l'image dite négative dans l hémisphere sud .  Un mini triangle d'eau dans l'hémisphère
          nord et son homologue en terre dans l hémisphère sud.