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#1 24-04-2010 17:14:10
- mathieu64
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- Messages : 192
exo sur les fermés
Bonjour,
Voici un exo qui me pose problème. Soient F et K 2 parties de R^2 avec F fermée et K compacte. Montrer que l'ensemble M des milieux des segments joignant un point de F et un point de K est fermé. J'ai réussi cette partie mais la deuxieme question est est ce vrai si K est juste fermé? Le contre exemple qu'un prof nous a donné est pour F la courbe y=1/X et pour K son symetrique par rapport à l'axe des abcisses. Mais j'ai pas l'impression que F et K soit fermé comme on peut trouver des suites de points qui converge vers 0 qui n'appartient pas à K et F. Donc est ce que F et K sont fermés?
Merci d'avance.
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#4 24-04-2010 20:18:59
Re : exo sur les fermés
Salut,
L'intervalle ne peut pas être [0;k] car pour X=0, 1/X n'existe pas. Est-ce que cela ne serait pas plutôt ]0;k] ?
Désolé de demander autant de précisions, mais dans ce type de problèmes, il faut beaucoup de précision !
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#6 25-04-2010 10:20:19
Re : exo sur les fermés
Salut,
Je commence à mieux cerner le problème.
F est un ensemble de points de [tex]R^2[/tex], pas de [tex]R[/tex]. Si tu as une suite de points [tex](x_n,y_n)[/tex] telle que [tex]x_n \to 0[/tex] alors [tex](y_n)[/tex] diverge. Donc ton contre-exemple est faux.
On peut montrer que F est fermé ainsi : Soit [tex](x_n,y_n)[/tex] une suite de F telle que [tex](x_n,y_n) \to (x,y)[/tex] avec [tex](x,y) \in R^2[/tex]. On a, par définition de F, [tex]\forall n, \, x_n y_n = 1[/tex]. Donc, par passage à la limite, [tex]x y = 1[/tex]. Donc [tex](x,y) \in F[/tex]. Par suite, F est fermé.
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#8 25-04-2010 23:17:42
- Thibault
- Membre
- Inscription : 03-01-2010
- Messages : 40
Re : exo sur les fermés
Salut Thadrien et Mathieu,
Le contre-exemple est juste. Le point (1/n,0) est le milieu du segment joignant (1/n,n) à (1/n,-n), il appartient donc à M. Et donc (0,0) est une valeur d'adhérence de M ce qui montre que M n'est pas fermé.
Salutations
Thibault
Dernière modification par Thibault (25-04-2010 23:18:40)
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#9 26-04-2010 06:23:20
Re : exo sur les fermés
Salut,
Quand je disais "le contre-exemple", je voulais dire "le contre-exemple au contre-exemple", celui du point (0,0). Désolé de m'être mal exprimé.
Le contre-exemple du prof, lui, est parfaitement juste.
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