Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

On considère [tex]E=C^1([0;1],R)[/tex] et [tex]f\in E[/tex], puis [tex]||f||_1=sup_{x\in[0;1]}|f(x)|[/tex], [tex]||f||_2=sup_{x\in[0;1]}|f(x)|+sup_{x\in[0;1]}|f'(x)|[/tex], [tex]||f||_3=|f(0)|+sup_{x\in[0;1]}|f'(x)|[/tex] et enfin [tex]||f||_4=(\int_0^1 |f(x)|^2dx)^{\frac{1}{2}}[/tex].

On me demande de comparer deux à deux ces quatre normes.

Bon, déjà, [tex]||f||_1\le ||f||_2[/tex].
Je m'intéresse maintenant à [tex]||f||_4[/tex], et j'essaie de faire apparaître [tex]f'(x)[/tex].

Pour cela, je considère [tex]||f||_4^2[/tex] et par une IPP, je trouve que [tex]\int_0^1 f^2(x)dx=f^2(1)-2\int_0^1 xf(x)f'(x)dx[/tex] et donc [tex]|\int_0^1 f^2(x)dx|=f^2(1)+2\int_0^1 |f(x)||f'(x)|dx[/tex]

Bon je suppose que maintenant, il faut que je condière les cas où f est croissante, puis décroissante sur [tex][0;1][/tex].

Est-ce que je suis sur la bonne ou je rate quelque chose d'évident ?

Merci d'avance pour vos pistes.

Bonjour,

Je souhaite montrer que le centre du groupe linéaire Gl(n,K) avec K=R ou C est l'ensemble des homotéthies.

Alors, je me souviens que les homotéthies laissent les droites invariantes.
Mon premier réflexe est donc de montrer qu'un élément du centre laisse les droites invariantes...

Pour décrire une telle droite, je peux prendre un point A et un vecteur directeur u, et donc écrire quelque chose comme : M=A+ku avec A et M décrits par des formes linéaires... Autrement dit, f(x)=g(x)+ku

Est-ce que tout cela a du sens ?

Merci beaucoup

Bonjour,

Je considère E un espace vectoriel normé sur K, et a un élément de K.

Je considère également l'application qui à (x,y) élément de [tex]K^2[/tex] associe x+y.
On a alors :

[tex]||x_1+y_1-x_2-y_2||\le ||x_1-x_2||+||y_1-y_2||[/tex]

En travaillant avec la norme 2, d'ou vient le fait que [tex]||x_1-x_2||+||y_1-y_2||\le \sqrt{2} ||(x_1-x_2,y_1-y_2)||[/tex] ?

Merci d'avance !

Bonjour,

J'essaie de me remettre à la théorie de la mesure, et j'essaie notamment de comprendre en profondeur toutes les notions de base.

Première difficulté : les limites inf et sup

On définit donc [tex]U_n=(u_k,k\ge n)[/tex] avec [tex](u_n)[/tex] une suite bornée, et on pose [tex]v_n=inf(U_n)[/tex] et [tex]w_n=sup(U_n)[/tex].

Je conçois aisément que pour tout [tex]n\ge 0[/tex], [tex]U_{n+1}=(u_{n+1},u_{n+2},u_{n+3},...)[/tex] est inclus dans [tex]U_n=(u_{n},u_{n+1},u_{n+2},...)[/tex], mais pourquoi cela entraîne-t-il que [tex]inf U_n \le inf U_{n+1}[/tex] ?

Comment le comprendre ?

Merci d'avance !

Bonjour tout le monde,

Soit [tex]\alpha\in[/tex] R.
On s'intéresse à la fonction [tex]\phi_{\alpha}[/tex] définie sur R par [tex]\phi_{\alpha}(x)=\frac{1}{1+\alpha^2x^2}[/tex].

On a montré que [tex]\forall x\in R, |\phi^{(p)}_{\alpha}(x)|\le \frac{p!}{|x|^{p+1}}[/tex].

On considère ensuite la suite définie de fonctions [tex](u_n)_{n\in N}[/tex] définie sur R par :  [tex]u_{n}(x)=\frac{a_nx^n}{1+n!a_n^2x^2}[/tex], pour tout [tex]x\in [/tex] avec [tex](a_n)_{n\in N}[/tex] une suite réelle.

On pose [tex]\alpha_n=\sqrt{n!}a_n[/tex].

On montre que pour tout entier [tex]n\ge 0[/tex] et tout entier [tex]p \ge n[/tex] et tout réel [tex]x[/tex], que :

[tex]u_n^{(p)}(x)=a_n\sum_{k=0}^p \binom{p}{k}\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}\phi_{\alpha_n}^{(p-k)}(x)[/tex].

On montre, de plus, que pour tout entier [tex]p[/tex] entre [tex]0[/tex] et [tex]n-1[/tex] et tout réel [tex]x[/tex], on a: 

[tex]|u_n^{(p)}(x)|\le \frac{|x|^{n-p-1}}{\sqrt{n!}}p!2^n[/tex]

On demande d'en déduire que la fonction [tex]U=\sum_{n=0}^{+\infty} u_n[/tex] est indéfiniment dérivable sur R.

J'essaie donc d'appliquer le théorème de dérivation sous le signe [tex]\sum[/tex], mais je bloque sur la convergence uniforme de la série [tex]\sum_{n\ge 0} u_n^{(p)}[/tex].
J'ai tenté de montré une hypothétique convergence normale sur tout compact [tex][-A;A][/tex] de R, mais je ne vois pas comment utiliser la majoration précédente pour prouver cette convergence.
Il me semble en effet que l'on ne peut pas invoquer une comparaison avec une somme de Riemman, à cause du terme exponentielle [tex]2^n[/tex], qui fait exposer le majorant...

Est-ce que je manque quelque chose d'évident ?

Merci d'avance de vos aiguillages !

Bonjour,

Encore une question... J'espère que l'on est pas limité par le nombre de questions, car je risque d'en avoir pas mal dans les prochains mois ^^

Soit [tex]x\in ]0;+\infty[[/tex].

On pose [tex]F(x)=\int_0^{+\infty} \frac{sin(t)}{t}e^{-tx}dt[/tex], [tex]G(x)=\int_0^{+\infty} e^{-tx}sin(t)dt[/tex] et [tex]H(x)=\int_0^{+\infty} cos(t)e^{-tx}dt[/tex].

J'ai démontré que les fonctions étaient bien définies sur [tex]]0;+\infty[[/tex], et que [tex]\lim_{x\to +\infty} F(x)=0[/tex].

Par ailleurs, [tex]G(x)=\frac{1}{x^2+1}[/tex] et [tex]H(x)=\frac{x}{x^2+1}[/tex], et [tex]F'(x)=-G(x)[/tex].

Ainsi, avec les propriétés précédentes, on en déduit que [tex]F(x)=-arctan(x)+K[/tex] avec [tex]K[/tex] un réel.
Or, par passage à la limite, on obtient que [tex]K=\frac{\pi}{2}[/tex].
Finalement, [tex]F(x)=-arctan(x)+\frac{\pi}{2}[/tex], et [tex]F(1)=\frac{pi}{4}[/tex].

Questions

1) Pourquoi demande-t-on de calculer [tex]F(1)=\int_0^{+\infty} \frac{sin(t)}{t}e^{-t}dt[/tex] ?

2) On demande également de calculer [tex]\int_0^{+\infty} e^{-tx}cos(\alpha t)dt[/tex]. Pourquoi ? Est-ce que cela permet de calculer [tex]F(x)[/tex] ?
Pour info, j'ai trouvé que [tex]\int_0^{+\infty} e^{-tx}cos(\alpha t)dt=H(\frac{x}{\alpha})[/tex] ...

Merci !

Bonjour tout le monde,

Je travaille sur le sujet de CCP INP 2020, qui traite de la fonction sinus cardinal pour la partie analyse.

On propose, sur des considérations autour de la formule de Viète, de calculer, à l'aide d'une somme de Riemann, la quantité suivante :

[tex]\lim\limits_{n\to +\infty} 2^{n+1} \sum\limits_{k=0}^{2^{n-1}} \frac{1}{4k^2+2^{2n}}[/tex]

Je n'ai jamais compris, et donc su, calculer des sommes où l'une des bornes n'est pas une expression "simple" telle que [tex]n[/tex] ou encore [tex]n+1[/tex].

J'ai donc naturellement tout divisé par [tex]n^2[/tex], mais reste le [tex]2^{n-1}[/tex].

Comment le gérer ?

Merci d'avance pour vos idées et explications.

MERCI YOSHI pour la mise en forme !