Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Thgues

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Ensembles C^k difféomorphes

Bonjour cher forum,

On considère [tex]AB[/tex] le segment d'extrêmes A et B, avec A et B deux ouverts de [tex]R^n[/tex].
Je souhaite montrer que le segment AB est [tex]C^k[/tex]-difféomorphe à [0;1].

J'ai auparavant démontré que pour tous ouverts A et B de [tex]R^n[/tex], l'ensemble [tex]\cup_{a\in A, b\in B} I(a,b)[/tex], avec [tex]I(a,b)=\{ta+(1-t)b,t\in [0;1]\}[/tex], est un ouvert de [tex]R^n[/tex].

Je cherche donc maintenant une application [tex]f[/tex], de classe [tex]C^k[/tex], bijective, et dont l'application réciproque est [tex]C^k[/tex].

Je pense qu'il est plus simple de montrer que les ensembles [tex][0;1][/tex] et [tex]AB[/tex] sont [tex]C^k[/tex]-difféomorphes, dans ce sens.
Et dans ce cas, je peux poser l'application [tex]f : (a,b)\in A\times B \to t||a||+(1-t)||b||[/tex] avec [tex]t\in [0;1][/tex].

Est-ce que cela a du sens ?

Merci pour vos remarques.

Fred

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Re : Ensembles C^k difféomorphes

Bonjour,

  Je ne comprends pas du tout ce que tu veux dire par la segment $AB$ lorsque $A$ et $B$ sont deux ouverts....
Pour moi, un segment, c'est entre deux points....

F.

Thgues

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Re : Ensembles C^k difféomorphes

Bonjour Fred,

Merci pour ton retour.
Dans le cours, on pose I=[0;1] inclus dans R. Et on dit alors que, pour tout k et n, le segment fermé AB d'extrèmes A, B dans [tex]R^n[/tex] est [tex]C^k[/tex]-difféomorphe à I.
Et c'est cette propriété que j'essaie de démontrer.

Fred

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Re : Ensembles C^k difféomorphes

Donc on ne te parle pas du tout d'ouverts......

Alors ce que tu as à faire, c'est démontrer que l'application $f:[0,1]\to AB,\ t\mapsto tA+(1-t)B$ est un $C^k$-difféomorphisme.

F.

Thgues

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Re : Ensembles C^k difféomorphes

Merci Fred.

Pour démontrer cela, je peux essayer d'expliciter directement la bijection réciproque, ou alors de montrer que [tex]f[/tex] est injective et surjective.
Je montre facilement que f est injective, puis surjective.
Quant au caractère [tex]C^k[/tex] de l'application f, à part dire qu'elle l'est en tant que somme d'applications qui le sont, y a-t-il quelque chose de plus profond à remarquer ?