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Thgues

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Intégrale du sinus cardinal Intégrale de Dirichlet

Bonjour,

Encore une question... J'espère que l'on est pas limité par le nombre de questions, car je risque d'en avoir pas mal dans les prochains mois ^^

Soit [tex]x\in ]0;+\infty[[/tex].

On pose [tex]F(x)=\int_0^{+\infty} \frac{sin(t)}{t}e^{-tx}dt[/tex], [tex]G(x)=\int_0^{+\infty} e^{-tx}sin(t)dt[/tex] et [tex]H(x)=\int_0^{+\infty} cos(t)e^{-tx}dt[/tex].

J'ai démontré que les fonctions étaient bien définies sur [tex]]0;+\infty[[/tex], et que [tex]\lim_{x\to +\infty} F(x)=0[/tex].

Par ailleurs, [tex]G(x)=\frac{1}{x^2+1}[/tex] et [tex]H(x)=\frac{x}{x^2+1}[/tex], et [tex]F'(x)=-G(x)[/tex].

Ainsi, avec les propriétés précédentes, on en déduit que [tex]F(x)=-arctan(x)+K[/tex] avec [tex]K[/tex] un réel.
Or, par passage à la limite, on obtient que [tex]K=\frac{\pi}{2}[/tex].
Finalement, [tex]F(x)=-arctan(x)+\frac{\pi}{2}[/tex], et [tex]F(1)=\frac{pi}{4}[/tex].

Questions

1) Pourquoi demande-t-on de calculer [tex]F(1)=\int_0^{+\infty} \frac{sin(t)}{t}e^{-t}dt[/tex] ?

2) On demande également de calculer [tex]\int_0^{+\infty} e^{-tx}cos(\alpha t)dt[/tex]. Pourquoi ? Est-ce que cela permet de calculer [tex]F(x)[/tex] ?
Pour info, j'ai trouvé que [tex]\int_0^{+\infty} e^{-tx}cos(\alpha t)dt=H(\frac{x}{\alpha})[/tex] ...

Merci !

Paco del Rey

Invité

Re : Intégrale du sinus cardinal Intégrale de Dirichlet

Difficile de répondre à tes questions "Pourquoi ... ?" sans avoir d'énoncé complet. L'idée d'un problème est de se laisser guider par l'énoncé. L'idée d'un problème de concours est de vérifier au passage si tel ou tel candidat maîtrise telle ou telle notion.

À ta place je vérifierais les calculs pour [tex]\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-tx}\cos(\alpha t) \, dt[/tex].

Paco.

P.S. Sinon, on n'est pas limité par le nombre de questions. Dis-toi bien qu'elles peuvent servir à d'autres.

Thgues

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Re : Intégrale du sinus cardinal Intégrale de Dirichlet

Merci Paco.

Oui, j'ai bien conscience de l'objectif d'un concours.
En composition, on n'a pas le temps de prendre du recul sur le sujet.
Ce qui me rassure, c'est que la plupart du temps, lorsque je bloque, c'est dû à une erreur de calcul, et non pas à une faiblesse dans la compréhension.
Si cela t'intéresse, il s'agit du sujet CCP INP 2020.

Merci encore !