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Thgues

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Centre du groupe linéaire

Bonjour,

Je souhaite montrer que le centre du groupe linéaire Gl(n,K) avec K=R ou C est l'ensemble des homotéthies.

Alors, je me souviens que les homotéthies laissent les droites invariantes.
Mon premier réflexe est donc de montrer qu'un élément du centre laisse les droites invariantes...

Pour décrire une telle droite, je peux prendre un point A et un vecteur directeur u, et donc écrire quelque chose comme : M=A+ku avec A et M décrits par des formes linéaires... Autrement dit, f(x)=g(x)+ku

Est-ce que tout cela a du sens ?

Merci beaucoup

Paco del Rey

Invité

Re : Centre du groupe linéaire

Bonjour Thgues.

En suivant ton idée.

Soit \( f \) appartenant au centre du groupe linéaire Gl(n,K).

\( f \) commute avec les symétries par rapport à des droites.

Paco.

Thgues

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Re : Centre du groupe linéaire

Bonjour Paco del Rey, et merci pour ton retour !

Alors, soit [tex]d[/tex] une droite.
Soit [tex]x[/tex] non nul et H un supplémentaire de la droite d engendrée par [tex]x[/tex].
Soit [tex]s[/tex] la symétrie par rapport à [tex]D=ker(s-Id)[/tex] de direction [tex]H[/tex].

Soit [tex]f[/tex] dans le centre de [tex]Gl(n,K)[/tex]. On a :

[tex]f(s(x))=s(f(x))[/tex] soit [tex]f(x)=s(f(x))[/tex]
Donc pour [tex]x\in D=ker(s-Id)[/tex], on a [tex]f(x)\in D=ker(s-Id)[/tex] et donc [tex]f[/tex] laisse stable les droites vectorielles.
Ainsi, [tex]f(x)[/tex] est dans [tex]D[/tex] et donc [tex]x[/tex] et [tex]f(x)[/tex] sont liés; il existe lambda scalaire tel que f(x)=\lambda \times x.

Bon, mais est-ce que [tex]\lambda[/tex] est indépendant de [tex]x[/tex] ?

Dernière modification par Thgues (12-11-2021 12:27:31)

Paco del Rey

Invité

Re : Centre du groupe linéaire

Comme tu l'as dit plus haut c'est classique.

Tu prends $x$ et $y$ deux vecteurs, et tu démontres que tu peux choisir le même $\lambda$.

Tu discutes suivant que $x$ et $y$ sont liés ou non.

Paco.