Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Faisant une banque d'exercice en topologie je "bloque" sur deux exercices.
I) soit f : [tex]\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}[/tex] continue et bijective et [tex]lim_{||x||->\infty}|| f(x)||=\infty[/tex]. Il faut montrer que f est un homéomorphisme, il faut donc étudier la continuité de la fonction inverse : mon idée (et ma seule) est de montrer que l'image direct O' d'un ouvert O est un ouvert. Par definition d'un ouvert dans un espace metrique, [tex] x \in O[/tex] il existe donc [tex]\epsilon > 0, B(x,\epsilon) \subseteq O[/tex]  il faut montrer qu'il existe [tex]\epsilon_{1} >0 [/tex] tel que [tex]B(f(x),\epsilon_{1}) \subseteq O'[/tex], mais je ne sais pas comment utiliser le fait que [tex]lim_{||x||->\infty}|| f(x)||=\infty[/tex] Avez vous des idées / indications ?

II)  https://www.cjoint.com/c/LLfmICOMnyj
pour la b) pour justifier la continuité il suffit de dire qu'il n'existe pas de point de discontinuité étant donné que [tex]\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset[/tex] ?
la fonction vaut 0 sur A et B (meme sur [tex]\overline{A}[/tex] et[tex]\overline{B}[/tex] ? ) par la question a).
On peut alors remarquer que la fonction entre ces deux ensembles est différente de 0. Mais de la à en déduire l'existence de deux ouverts U et V  incluant A et B respectivement je n'ai pas réelement d'idée...

Avez vous des indications ?

Merci d'avance

Bonjour,
j'aurais besoin d'une légère indication sur la connexité pour "terminer" un exercice :
l'objectif de l'exercice est de montrer si X et Y sont connexe ou pas.

[tex]X=\{(0,y); -1 \leq y \leq 1 \} \cup\{(x,sin(1/x)); x>0\} [/tex]
[tex]Y=\{(x,0); x \in \mathbb{R} \} \cup\{(x,1/x); x>0\} [/tex]

Je montre sans difficulté que les 2 sous ensembles(de X et Y) sont connexes par le fait que l'image d'un connexe par une fonction continue est connexe.
Pour Y (si ma justification est bonne) est bien un connexe car par passage à la limite l'intersection entre [tex]\{(x,0); x \in  \mathbb{R} \} [/tex] et [tex]\{(x,1/x); x>0\} [/tex] est non vide
Mais pour X, meme si l'intersection est vide pour les deux sous-ensembles cela n'implique pas obligatoirement que l'ensemble X n'est s pas connexe.
Avez-vous une indication ?

Merci d'avance

https://www.cjoint.com/c/LKytbXktiJ2

Bonjour, bien que déja posé une question sur les equations différentielles il n'y a pas lomptemps, quelques sous exercice  me bloque completement, aucune idée pour les traités (enfin toute mes idées n'ont pas aboutit)
Notons [tex]S_{h}[/tex] la solution homogène et [tex]S_{p}[/tex]  la solution particulière

pour la 1) c) je pense dérivé [tex]v_{int}[/tex] mais je bloque.....

pour la d) la solution sera [tex]S_{h} + S_{p}[/tex] dont on restreint la solution avec v(0) = v1 et v1=vr
mais pour la solution particulière je bloque completement, on ne peut pas partir du fait qu'une solution particuliere [tex]y_{p}[/tex] est de la forme [tex]at^{2}+bt + c[/tex] par exemple. Auriez-vous des idées/ indications ?

pour la 2) a) je pense que mon idée est trop belle pour que ca soit vraie... la solution de [tex]\tilde{v}[/tex] est la même equation en remplacant w(x), vl et vr par 0 comme v1 et v2 sont solutions de l'équation.

la 3) je n'ai aucune idée mais je pense ceci normal n'ayant aucune idée de la forme de la solution par la question 1) d)

Merci d'avance,

Bonjour,
Ma question est de montrer l'isomorphisme entre [tex]Z \[i \]/<1+3i>[/tex] et Z/10Z
Je "bloque" sur certaine partie :

I)[tex]Z\[i\]/<i-3>[/tex] isomorphe avec [tex]Z[x]/<x^{2}+1,x-3>[/tex] je comprend bien l'isomorphisme entre [tex]Z\[i\][/tex] et [tex]Z[x]/<x^{2}+1>[/tex]  mais je bloque sur cet isomorphisme (pour le démontrer)

II)Z[x]/<x^{2}+1,x-3> = Z[x]/<10,x-3> c'est peut-être bête mais je ne vois pas pourquoi [tex]x^{2}+1[/tex] se tranforme en 10 tout en ayant l'égalité
III)Z[x]/<10,x-3> isomorphe avec Z/10Z : plus généralement on aurait Z[x]/<10,x+ j> isomorphe avec Z/10Z pour j [tex]\in \{0,1,...,9\}[/tex]  ?

Merci d'avance

Bonjour,  Ayant un manque d'expertise concernant les équations différentielles je bloque sur deux exercices :
1) résoudre l'équation suivante : [tex]y^{(3)}-y''+y'-y = 3t^{2} [/tex]
Concernant la solution homogène, il n'y a pas tellement de difficulté en prenant son équation caractéristique, soit [tex]S_{h}[/tex] la solution homogène, [tex]S_{h}(t) = Ae^{t}+ Be^{it}+Ce^{-it}[/tex]
Concernant la solution particulière je pensais réaliser comme méthode la variation de la constante, i.e [tex]S_{p}(t) =t^{2}[/tex] ce qui équivaut à [tex]A(t)e^{t}+ B(t)e^{it}+C(t)e^{-it}  =3t^{2}  [/tex] mais ce n'est pas concluant et je ne vois pas d'autre méthode particulière auriez vous une indication ?

2) [tex]A= \begin{pmatrix} -8 & 0 &8 \\ 16 & -1 & 17 \\ 16 & -9 & 9 \end{pmatrix}[/tex] l'objectif est de résoudre le problème de Cauchy suivant :
y'(t) = Ay(t)
y(1)= [tex]\begin{pmatrix}3 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}[/tex]
Cependant lorsqu'on essaye de calculer les valeurs propres  de A, on observe vite que ce n'est pas la bonne méthode... Auriez-vous une idée ou une indication ?

Cordialement