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math1

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Question sur la géométrie et topologie

Bonjour, j'ai un exercice où je bloque complètement... https://cjoint.com/c/MCegwxhVuLC
Auriez-vous des indications ?
J'ai bien évidemment travaillé sur ces questions mais je ne réussi pas & créer ces fonctions :
1) a) Je pense tout de suite à la fonction identité qui respecte l'identité sur la frontière sur la restriction (i.e soit g la fonction identité g(0)=0 et g(1)=1)) or la condition avec g(x)=y me fait plus penser à créer un "chemin" mais selon moi cela contredirait le fait que g(0)=0 et g(1)=1

b) Je pense pour cette question qu'il faut avoir la fonction g de la question précédente puis par la suite l'utiliser ou la transformer..

2) a) Soit (U,[tex]\phi[/tex]) (i.e U un ouvert et [tex]\phi[/tex] un homéomorphisme tel que [tex]\phi[/tex](U) soit un ouvert)
Je pense toujours à créer un chemin : l'image [tex]\phi[/tex](p) et [tex]\phi[/tex](q) appartiennent à R2 correspondent à deux points de [tex]\phi[/tex](U), il va alors exister (selon moi) un chemin  dans [tex]\phi[/tex](U) qui relie [tex]\phi[/tex](p) à [tex]\phi[/tex](q)

Auriez vous une indication dans le but de déterminer ces fonctions

Merci d'avance

Michel Coste

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Re : Question sur la géométrie et topologie

Bonjour,

Tu peux trouver une fonction continue strictement croissante de [tex][0,1][/tex] sur lui même qui envoie [tex][0,x][/tex] sur [tex][0,y][/tex] et [tex][x,1][/tex] sur [tex][y,1][/tex]. Le plus simple sera le mieux.

math1

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Re : Question sur la géométrie et topologie

Merci c'est beaucoup plus clair, je trouve alors la fonction f tel que [tex] f(x)=\frac{ty}{x}[/tex] si t appartient à [0,x] et [tex]f(x)= \frac{(1-y)(t-x)}{1-x} + y[/tex] sinon

pour la 2 on a alors h(t,v)=(f(t),v), les conditions sont bien respectées.

Concernant la question 2,
a) une surface est une variété de dimension 2, donc si M est une surface, il existe des voisinages ouverts U et V de a et 0 dans [tex]R^{n}[/tex] respectivement, et un difféomorphisme [tex]\phi[/tex] tq [tex]\phi(M\cap U) = V \cap(R^{2}\times \{0\})[/tex].
Mon idée est de poser M= [tex]\phi^{-1}(R^2)[/tex] et de refaire la question 1 b) en remplacant [tex][0,1]^{2}[/tex] par [tex]R^2[/tex]
mais ca me parait un peu bizarre comme je n'utilise pas la  notion de carte

pour la b) la surface est connexe donc l'image d'une fonction f continue  de M vers V implique V connexe

Je ne vois pas tellement comment utiliser la question 1 afin de répondre à la 2

Auriez vous des indications ?

Michel Coste

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Re : Question sur la géométrie et topologie

Pour le 1b, bricoler à l'aide du 1a
Pour le 2a, se ramener au 1b
Pour le 2b, montrer que l'ensemble des points sur lesquels on peut envoyer un point donné de la surface est ouvert et fermé, en utilisant 2a.

math1

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Re : Question sur la géométrie et topologie

Oui je vois c'est beaucoup plus clair, mais pour le 2a [tex]\phi(U)[/tex] est un ouvert de [tex]R^{2}[/tex], je ne vois pas le lien entre un ouvert de [tex]R^{2}[/tex] et l'ensemble K=[tex][0,1]^{2}[/tex] avec la fonction que j'ai créé h (dit précédemment).

Michel Coste

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Re : Question sur la géométrie et topologie

Première chose, ton [tex]h[/tex] ne marche pas parce que ce n'est pas l'identité sur le bord du carré. Il faut bricoler un peu plus.
Ensuite, quand tu as deux points dans le plan, tu peux toujours les enfermer à l'intérieur d'un carré. Tu fais ta petite tamboullie qui emmène un point sur l'autre sur ce carré en utilisant 1b, et tu prolonges par l'identité en dehors du carré. Mais il faut pour cela que "la petite tambouille" ne change rien sur le bord du carré, ce qui nous ramène à la première remarque de ce message.

Dernière modification par Michel Coste (05-03-2023 14:23:08)

math1

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Re : Question sur la géométrie et topologie

Merci beaucoup,
excusez moi pour une derniere question (question 1 a), je bloque sur la création du h car selon moi il faut garder h(t,v)=(f(t),v) pour h(x,1/2)=(y,1/2)
mais que quand t=x et pour le reste la fonction identité. Cependant, ce n'est pas continue. On a essayé de multiple "tambouille" mais sans succès, auriez-vous une derniere indication ?
Merci d'avance

Michel Coste

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Re : Question sur la géométrie et topologie

Tu veux bien évidemment que [tex]h(t,u)=(f(t,u),u)[/tex], que [tex]f(t,1/2)[/tex] soit le [tex]g(t)[/tex] de la première question et que [tex]h(t,u)=(t,u)[/tex] sur le bord du carré.
En gros, l'idée pour bidouiller est de prendre pour [tex]t\mapsto f(t,u)[/tex] un "mélange" continu de [tex]g(t)[/tex] et de l'identité de [tex][0,1][/tex] qui soit complètement [tex]g[/tex] pour [tex]u=1/2[/tex] et complètement l'identité pour [tex]u=0[/tex] et [tex]u=1[/tex]. Pour doser les proportions, tu peux utiliser une fonction continue [tex]p:[0,1]\to[0,1][/tex] telle que [tex]p(0)=p(1)=0[/tex] et [tex]p(1/2)=1[/tex].
Bonne tambouille !

Dernière modification par Michel Coste (09-03-2023 11:28:41)

math1

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Re : Question sur la géométrie et topologie

Je vois merci beaucoup pour vos réponses.