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math1

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Question bête sur les isomorphismes

Bonjour,
Ma question est de montrer l'isomorphisme entre [tex]Z \[i \]/<1+3i>[/tex] et Z/10Z
Je "bloque" sur certaine partie :

I)[tex]Z\[i\]/<i-3>[/tex] isomorphe avec [tex]Z[x]/<x^{2}+1,x-3>[/tex] je comprend bien l'isomorphisme entre [tex]Z\[i\][/tex] et [tex]Z[x]/<x^{2}+1>[/tex]  mais je bloque sur cet isomorphisme (pour le démontrer)

II)Z[x]/<x^{2}+1,x-3> = Z[x]/<10,x-3> c'est peut-être bête mais je ne vois pas pourquoi [tex]x^{2}+1[/tex] se tranforme en 10 tout en ayant l'égalité
III)Z[x]/<10,x-3> isomorphe avec Z/10Z : plus généralement on aurait Z[x]/<10,x+ j> isomorphe avec Z/10Z pour j [tex]\in \{0,1,...,9\}[/tex]  ?

Merci d'avance

Glozi

Invité

Re : Question bête sur les isomorphismes

Bonjour,
L'idée du passage au quotient $\mathbb{Z}\left[i\right]/<i-3>$ c'est que $i$ est "remplacé" par $3$, puisque $i$ est "défini" comme $i^2=-1$ on aurait alors dans l'anneau quotient $3^2=-1$ soit $10=0$, il est donc raisonnable de penser à $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$. Bien sûr ceci n'est qu'une idée et pas une preuve.

Un outil très outil est le 3ème théorème isomorphisme :
$(A/I)/(J/I) \simeq A/J$ si $J$ est un idéal de $A$ contenant l'idéal $I$.

On utilise ça sous la forme :
$Z[X]/<X^2+1, X-3> \simeq (Z[X]/<X^2+1>)/(<X^2+1, X-3>/<X^2+1>)$

La réponse aux questions $1$ et $3$ se lisent presque dans ce résultat. Mais pour se convaincre, il vaut mieux définir de jolis isomorphismes.

Je te donne une version assez détaillée pour la I)
Déjà on peut considérer le morphisme d'anneau :
$f_1 : \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}\left[i\right], X\mapsto i$. (il suffit de pour définir un morphisme d'anneaux depuis $\mathbb{Z}[X]$ de se donner l'image de $X$ (l'image de $1$ vaut toujours $1$)).
$f_1$ n'est pas injectif, et en calculant son noyau on voit bien que $Ker(f_1) = <X^2+1>$ (cela utilise la division euclidienne : on montre que si $P$ est un polynôme, si $f_1(P)=0$ alors le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^2+1$ est nul...)
Tu as donc un isomorphisme d'anneaux $f_2 : \mathbb{Z}[X]/<X^2+1> \to \mathbb{Z}\left[i\right]$.
Rien ne t’empêche en composant ce morphisme par un passage au quotient, d'obtenir un morphisme d'anneaux :
$f_3 : \mathbb{Z}[X]/<X^2+1> \to \mathbb{Z}\left[i\right]/<i-3>$, il faut alors encore calculer le défaut d'injectivité de ce morphisme pour obtenir l'isomorphisme souhaité.
Soit $P$ un polynôme alors on peut supposer $P=a+bX$ quitte à considérer sa division euclidienne par $X^2+1$. Nous avons $f_2(P)=a+ib$ (on assimile $P$ à sa classe modulo $X^2+1$). Supposons que $a+ib \in <i-3>$, alors il existe $z=c+id$ tel que $a+ib = (i-3)z$ autrement dit $f_2(P) = f_2((X-3)Q)$ pour un certain $Q=c+dX$ et donc $P-(X-3)(c+dX)$ est nul modulo $X^2+1$, donc $P\in <X^2+1,X-3>$, ainsi $Ker(f_3) \subset <X^2+1,X-3>/<X^2 +1>$ Réciproquement...
(penser à utiliser le troisième théorème d'isomorphisme pour conclure).

Autre méthode : Considérer directement le morphisme $f_4 : \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}\left[i\right]/<i-3>, X \mapsto cl(i)$ où $cl(i)$ est la classe de $i$ dans $\mathbb{Z}\left[i\right]/<i-3>$ et résoudre le défaut d'injectivité. Honnêtement je préfère la première méthode qui est je trouve bien plus naturelle. D'abord, $\mathbb{Z}[X]$ devient $\mathbb{Z}\left[i\right]$ via $X^2+1$ (ie $X$ devient $i$), puis devient $\mathbb{Z}\left[i\right]/<i-3>$ via $X-3$ (ie $i$ devient $3$).

Pour la II) calculer la division euclidienne de $X^2+1$ par $X-3$. (cela revient à demander si $X-3=0$ alors combien vaut $X^2+1$ ?)
Pour la III) Pareil que la I) Considérer un judicieux morphisme de $\mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ (que vaut l'image de $X$ dans ce morphisme ?) Puis passer au quotient pour obtenir un isomorphisme $\mathbb{Z}[X]/<X-3, 10>$ et $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$, (je te conseille d'abord de trouver un isomorphisme entre $\mathbb{Z}[X]/<X-3>$ et $\mathbb{Z}$...)

Bonne journée

math1

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Re : Question bête sur les isomorphismes

Merci beaucoup tout est clair !