Forum de mathématiques - Bibm@th.net

math1

Membre

Inscription : 07-11-2022

Messages : 27

groupe des quaternions d'ordre 8

Bonjour, je bloque sur une question, pourrais je avoir une indication ?

hypothèse :
Nous avons un groupe G d'ordre 8, que nous supposons non abélien.
De plus il existe un sous groupe C d'ordre 4 cyclique dans G
On suppose que tous les éléments du groupe quotient G/C sont tous d'ordre 4

On a montré que le centre (Z) est d'ordre 2 et G/Z est isomorphe à (Z/2Z)^2.

énoncé : "Ecrivons Z={-1,1}, et choisissons i,j dans G dont les images dans G/Z forment une base de G/Z sur Z/2Z, on pose k=ij." Montrons que i,j,k sont d'ordre 4.

j'ai considéré i' et j' les images de i et de j. Tout élément b de G/Z s'écrit comme b= b1.i' + b2.j' avec (b1,b2) dans Z/2Z. On bloque sur le fait que i,j soit une base nous permettrais de montrer que i,j,k sont d'ordre 4.
L'idée qui m'est venu est de supposer par l'absurde que i ou j est d'ordre 2 (on considère ici que i est d'ordre 2) alors i appartient à C. on pose x un générateur de C, donc i est une puissance de x.
Pourrais je avoir de l'aide
Merci d'avance

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 185

Re : groupe des quaternions d'ordre 8

Bonjour,

Je ne vois pas trop à quoi sert $C$ ici. J'irais plutôt démontrer que si $i, j$ sont d'ordre $2$, ils sont nécessairement nuls dans $G/Z \simeq \left( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)^2$, alors qu'on suppose qu'ils forment une base.

E.

math1

Membre

Inscription : 07-11-2022

Messages : 27

Re : groupe des quaternions d'ordre 8

Merci pour votre indication, (excusez moi de vous déranger encore un peu) "nécessairement nul" vous voulait plutôt dire l'élément neutre dans G/Z ?
Mais si i et j sont d'ordre 2 cela n'implique pas nécessairement qu'ils appartiennent à Z (c'est à dire que leurs image i' et j' valent e dans G/Z)

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 185

Re : groupe des quaternions d'ordre 8

Disons que dans la mesure où il existe un isomorphisme entre le groupe $G/Z$ et le groupe abélien $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$, $G/Z$ est commutatif. On peut donc utiliser une notation additive et parler d'éléments "nul" ; mais formellement, effectivement, il s'agit toujours de l'élément neutre pour la loi du groupe.

Non, pas nécessairement. Ce n'est pas parce que deux groupes ont le même ordre qu'ils sont égaux. On peut avoir $i^2 = 1$, sans que cela entraîne $i = 1$ ou $i = -1$. Ce sera le cas dans le groupe unité des quaternions, puisqu'on va montrer que tous les éléments distincts de $1$ et $-1$, (ie, $i, -i, j, -j, k, -k$) sont d'ordre $4$, donc... Mais ce n'est pas vrai en toute généralité (ex. dans le groupe des matrices $\textrm{Sl}_2(\mathbb{R})$, la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ vérifie $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ sans pour autant être égale à $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ou $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$)

math1

Membre

Inscription : 07-11-2022

Messages : 27

Re : groupe des quaternions d'ordre 8

Merci beaucoup pour vos explications et votre exemple !