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math1

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integrale double, mu-integrable et lebesgue-integrable

Bonjour, excusez moi j'ai encore un blocage.....
j'ai un exercice à réaliser mais blocage total sur la 4 (les indications me perturbent) avez-vous une indication ?
le 1 et 2 sont assez simple cependant pour la 3 : voici ma justification pour la première fonction :
on a phi qui est non nul sur un intervalle et on a une mesure mu tel mu(K)<[tex]\infty[/tex] avec K compact. Or en décomposant l'intégrale en fonction simple on aura que l'intégrale sera < [tex]\infty[/tex] i.e :
[tex]\int_{\mathbb{R}} \phi \mathrm{d}\mu = \sup_{s\in \Gamma} \sum_{i=0}^n \alpha_{i} \mu(A_{i})[/tex] tel que [tex]\alpha_{i} = s(A_{i})[/tex]et [tex] \Gamma= \{s[/tex] simple [tex], s\leq \phi \}[/tex]. Or on a bien [tex]\mu(A_{i}) < \infty[/tex] D'où [tex]\sum_{i=0}^n \alpha_{i} \mu(A_{i})[/tex].
Pour la seconde fonction, je ne vois pas comment manipuler de tels objets sur l'intégrale de Lebesgue (même si c'est sur les intégrales qu'on connait assez bien...)
https://www.cjoint.com/c/LKDurMScR22

Merci d'avance

Dernière modification par math1 (29-11-2022 21:18:18)

Fred

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Re : integrale double, mu-integrable et lebesgue-integrable

Bonjour,

Ce serait plus facile avec l'énoncé....

F.

math1

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Re : integrale double, mu-integrable et lebesgue-integrable

Oui c'est vrai.... merci pour la remarque

Fred

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Re : integrale double, mu-integrable et lebesgue-integrable

Bonjour,

  Pour la 3., la justification de la plus simple de la $\mu$-intégrabilité de $\phi$ me semble être de dire que $|\phi|$ est bornée sur $[-a,a]$ (puisque continue sur ce segment) disons par $M$, et donc $\int_{\mathbb R}|\phi|d \mu\leq M\mu([-a,a])<+\infty.$

Pour la fonction $x\mapsto G(x)\phi'(x)$, c'est à peu près pareil : elle est bornée, et à valeurs dans $[-a,a]$.

Pour la 4., l'indication n'est pas très claire je trouve. Voici comment je commencerais :
\begin{align*}
\int_{\mathbb R}G(x)\phi'(x)&=\int_{[-a,a]} G(x)\phi'(x)dx\\
&=\int_{[0,a]} \mu([0,x])\phi'(x)dx-\int_{-[a,0[} \mu(]-x,0[)\phi'(x)dx\\
&=\int_{[0,a]} \int_{[0,x]} 1d\mu(y)\phi'(x)dx-\int_{[-a,0[}\int_{]x,0[} 1d\mu(y) \phi'(x)dx
\end{align*}
et ensuite tu peux appliquer le théorème de Fubini...

F.

math1

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Re : integrale double, mu-integrable et lebesgue-integrable

Oui d'accord c'est très clair, on obtient directement l'égalité en utilisant le théorème...
Merci beaucoup !