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math1

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indication sur les parties connexes de R^2

Bonjour,
j'aurais besoin d'une légère indication sur la connexité pour "terminer" un exercice :
l'objectif de l'exercice est de montrer si X et Y sont connexe ou pas.

[tex]X=\{(0,y); -1 \leq y \leq 1 \} \cup\{(x,sin(1/x)); x>0\} [/tex]
[tex]Y=\{(x,0); x \in \mathbb{R} \} \cup\{(x,1/x); x>0\} [/tex]

Je montre sans difficulté que les 2 sous ensembles(de X et Y) sont connexes par le fait que l'image d'un connexe par une fonction continue est connexe.
Pour Y (si ma justification est bonne) est bien un connexe car par passage à la limite l'intersection entre [tex]\{(x,0); x \in  \mathbb{R} \} [/tex] et [tex]\{(x,1/x); x>0\} [/tex] est non vide
Mais pour X, meme si l'intersection est vide pour les deux sous-ensembles cela n'implique pas obligatoirement que l'ensemble X n'est s pas connexe.
Avez-vous une indication ?

Merci d'avance

Eust_4che

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Re : indication sur les parties connexes de R^2

Bonjour,

J'aimerais bien que tu me précises le raisonnement "par passage à la limite l'intersection entre $\{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R} \}$ et $\{(x, 1/x) \mid x > 0 \}$ est non vide". Il y a un manque de compréhension des notions et ce serait dommage de simplement dire que ce raisonnement est faux sans le corriger.

Pour $X$, cela tient à ce que l'adhérence d'un ensemble connexe dans un espace topologique est connexe. Reste à démontrer que $\{ (0, y) \mid -1 \leq y \leq 1 \}$ est bien l'adhérence de $\{ (x, \sin x) \mid x > 0 \}$

E.

Dernière modification par Eust_4che (27-11-2022 10:51:00)

math1

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Re : indication sur les parties connexes de R^2

Merci beaucoup pour ces indications,
Oui c'est vrai j'ai oublié  une propriété de la connexité pourtant élémentaire.... pour Y, ce serait plutot l'union disjointe de deux ouverts. Ce qui implique que Y n'est pas connexe, est-ce bien correct ?
Pour X l'adhérence de [tex]\{(x,sin(1/x)) | x>0 \}[/tex] est [tex]\{(x,sin(1/x)) | x\geq 0 \}[/tex] (par caractérisation séquentielle). je peux raisonner par double inclusion mais le x > 0 et le 0 du (0,y) me perturbe afin de réaliser les inclusions

Eust_4che

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Re : indication sur les parties connexes de R^2

Oui, en reprenant la définition d'un ensemble qui n'est pas connexe.

Il y a un problème. L'ensemble $\{ (x, \sin 1/x) \mid x \geq 0 \}$ n'est pas bien définie : que se passe-t-il pour $x = 0$ ?

On va noter $X_1$ l'ensemble $\{ (x, \sin 1/x) \mid x > 0 \}$. Déjà, si $(x, y) \in ]- \infty, 0[ \times \mathbb{R}$, il n'est pas adhérent à $X_1$, puisque $]- \infty, 0[ \times \mathbb{R} \cap X_1 = \emptyset$. Cela nous conduit à étudier $[0, +\infty[ \times \mathbb{R}$, qu'on peut éventuellement séparer en $\{ 0 \} \times \mathbb{R}$ et $] 0, + \infty [ \times \mathbb{R}$. Finalement tout revient à démontrer que chaque point de $\{ 0 \} \times [-1, 1]$ est adhérent $X_1$. Ce qui est plutôt pratique est que, quel que soit $r > 0$, la restriction de la fonction à $]0, r]$ est surjective...

Je viens de me rendre compte d'une erreur. $\{0\} \times [-1, 1]$ est une partie de $\bar{X_1}$. L'adhérence de $X_1$ est $X_1 \cup \{0\} \times [-1, 1]$.

Dernière modification par Eust_4che (27-11-2022 10:53:25)

math1

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Re : indication sur les parties connexes de R^2

oui c'est vrai, ma réponse concernant l'adhérence aurait été correct si la limite quand x tend vers +infini de sin(1/x) était bien défini
J'ai bien compris, merci beaucoup