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math1

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topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

Bonjour,
Faisant une banque d'exercice en topologie je "bloque" sur deux exercices.
I) soit f : [tex]\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}[/tex] continue et bijective et [tex]lim_{||x||->\infty}|| f(x)||=\infty[/tex]. Il faut montrer que f est un homéomorphisme, il faut donc étudier la continuité de la fonction inverse : mon idée (et ma seule) est de montrer que l'image direct O' d'un ouvert O est un ouvert. Par definition d'un ouvert dans un espace metrique, [tex] x \in O[/tex] il existe donc [tex]\epsilon > 0, B(x,\epsilon) \subseteq O[/tex]  il faut montrer qu'il existe [tex]\epsilon_{1} >0 [/tex] tel que [tex]B(f(x),\epsilon_{1}) \subseteq O'[/tex], mais je ne sais pas comment utiliser le fait que [tex]lim_{||x||->\infty}|| f(x)||=\infty[/tex] Avez vous des idées / indications ?

II)  https://www.cjoint.com/c/LLfmICOMnyj
pour la b) pour justifier la continuité il suffit de dire qu'il n'existe pas de point de discontinuité étant donné que [tex]\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset[/tex] ?
la fonction vaut 0 sur A et B (meme sur [tex]\overline{A}[/tex] et[tex]\overline{B}[/tex] ? ) par la question a).
On peut alors remarquer que la fonction entre ces deux ensembles est différente de 0. Mais de la à en déduire l'existence de deux ouverts U et V  incluant A et B respectivement je n'ai pas réelement d'idée...

Avez vous des indications ?

Merci d'avance

Glozi

Invité

Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

Bonjour,
Pour la I), je regarderais avec le critère séquentiel de la continuité. Soit $(y_n)_n$ telle que $y_n \to y$. Montrons que $f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y)$ (utiliser la compacité / Bolzano-Weierstrass...)
Pour la II) la fonction ne vaut pas $0$ sur $\overline{B}$...
Bonne journée

math1

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Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

Oui, bien sur... pour la II) on pourra prendre U =[tex]\cup _{x \in A} B(x,1/3)[/tex] et de même pour V sur l'ensemble B.
Merci, c'est vrai que je n'avais pas pensé à cette définition, par contre pour montrer que [tex]f^{-1}(y_{n}) \rightarrow f^{-1}(y)[/tex] selon moi, seule la notion de continuité permet de justifier la convergence je ne voit pas l'utilité de la limite de la norme de f.

Glozi

Invité

Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

Pour la II) $U=\bigcup_{x\in A}B(x,1/3)$ ne convient pas si par exemple $A=[0,1]$ et $B=[1.0001,2]$ (il faut utiliser la fonction introduite dans l'exo pour trouver $U$ et $V$...)
Pour la I) je n'ai pas compris ce que tu veux dire ? Tu dis que tu as réussi à montrer $f^{-1}$ continue sans utiliser l'hypothèse, ou alors que tu ne vois pas comment utiliser l'hypothèse ? Dans tous les cas peut être qu'il faudrait donner une idée de ce que tu as fais pour voir où ça coince.
Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

Tiens pour la I) je pense à une autre méthode qui en y réfléchissant n'est pas très loin de la première à laquelle je pensais.
Posons $g = f^{-1}$
1) Montrer que $g$ envoie un ensemble borné sur un ensemble borné
2) En déduire que $g$ envoie un compact sur un compact.
3) En déduire que $g$ est continue (cela utilise seulement la question précédente et l'injectivité de $g$).

math1

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Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

Bonjour, merci beaucoup pour la deux c'est trivial lorsqu'on se rappel que si f est continue alors l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert...
Oui si la fonction est injective et envoie un compact sur un compact, elle est alors continue. f est injective par definition :
Soit A un compact de [tex]R^{n}[/tex] (fermé borné) ... je comprend bien la méthode mais je ne vois pas du tout comment utiliser [tex]lim_{||x||\rightarrow \infty} ||f(x)||=\infty[/tex] (escusez-moi pour toutes ces questions)

Dernière modification par math1 (06-12-2022 19:26:22)

Glozi

Invité

Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

Bonsoir,
Indice : il faut utiliser l'hypothèse $\lim_{\Vert x \Vert \to \infty}\Vert f(x) \Vert = \infty$ pour montrer que $f^{-1}$ envoie un ensemble borné sur un ensemble borné.

math1

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Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

oui cela j'ai bien compris, (je me suis focalisé sur R uniquement et cette hypothese est inutile) mais justement c'est son utilité pour montrer que l image d un compact est un compact...
Soit [tex]y_{n}[/tex] une suite dans un compact A montrons que [tex]g(y_{n})[/tex] admet une sous-suite convergente dans g(A)
i.e il existe une application strict. croissant [tex]\phi[/tex] tq [tex]g(y_{\phi(n)})[/tex] converge dans g(A)
C'est la où je bloque : utiliser la sous suite avec la propriété (je me doute que c'est quelque chose de vraiment tres bête......)

Glozi

Invité

Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

$g=f^{-1}$ envoie un borné sur un borné (là on utilise $\Vert f \Vert$ coercive), et un fermé sur un fermé (car $f$ est continue) donc envoie un compact (fermé borné) sur un compact (fermé borné).

Sinon avec les sous suites $y_n$ vit dans un compact $A$ donc $(y_n)_n$ est bornée. Posons $x_n := g(y_n)$. Alors $(x_n)_n$ est borné (car $g$ envoie borné sur borné). Donc $(x_n)_n$ admet une sous suite convergente et si $x_n \to x$ il faut montrer que $x\in g(A)$. Mais puisque $f$ continue alors $y_n \to f(x)$ et comme $A$ est compact on a $f(x)\in A$. Ainsi finalement $x\in g(A)$ ainsi les valeurs d'adhérence sont bien dans $g(A)$.

math1

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Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

Oui bien sur... Merci beaucoup pour vos explications

bmath

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Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

bonsoir comment montrer pour un ensemble  qu une valeur d adherence est un point adherent et que la reciproque est fausse

Michel Coste

Membre Expert

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Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

Bonjour,
Ouvre un nouveau fil plutôt que de poser ta question dans un fil sur un sujet différent.
Et veille à bien définir les termes que tu emploies : une valeur d'adhérence, c'est pour une suite (ou une fonction) et un point adhérent c'est pour un sous-ensemble.

yoshi

Modo Ferox

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Re : topologie : ensemble ouvert... et homéomorphisme

Bonjour,

@bmath
Pourquoi avoir cliqué sur Répondre ou écrit directement dans le cadre Réponse rapide ?
Tu ne réponds  pourtant absolument pas à la question de math1, mais par contre ton post parasite la présente discussion...
Alors ?
Dans tout forum digne de ce nom, on applique la consigne : un sujet = une discussion... ce qui permet d'avoir de l'ordre et de la cohérence.
Sinon, très vite, tout est mélangé et il devient très difficile et très pénible de s'y retrouver.
Pour avoir une réponse, c'est là qu'il fallait cliquer : Nouvelle discussion
Tu aurais choisi un titre clair puis posé ta question dans TA propre discussion.
Pas vu ???
Tsss ! Tsss ! Tsss !
Ce lien est pourtant présent en haut et en bas à droite de chaque page qui constitue un répertoire des discussions déjà ouvertes  dans ce sous-forum Entraide (Supérieur).
Comme ce répertoire comprend 211 pages, le lien Nouvelle discussion y est donc présent...422 fois !!!
Si tu es dubitatif, c'est simple, va voir ici : https://www.bibmath.net/forums/viewforum.php?id=9...
Si tu veux une réponse, ne perds donc pas de temps parce que dans les 24 h, je supprimerai ton post (et le mien qui n'aura alors plus lieu d'être)...
Je ne ferme pas la discussion pour ne pas pénaliser math1, mais je veillerai à ce que tu n'aies pas de réponse tant que tu n'auras ouvert ta propre discussion

Merci de ta compréhension.

    Yoshi
- Modérateur -