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Bonjour, soit G un groupe, et commutateur de G tout élément de la forme [tex]\ xyx^{-1}y^{-1}[/tex]. D le sous-groupe de G engendré par l'ensemble des commutateurs de G .
On me demande de deteminer D lorsque G commutatif (fait), de montrer que D est un sous-groupe normal (fait) .
Je n'arrive pas
1)à montrer que G/D est commutatif.
2) Soit H un sous groupe normal de G , en supposant que G/H est commutatif montrer que D est inclu dans H.

Comment je dois faire pour résoudre 1) et 2). Merci

Bonjour , j'ai un problème pour cette exercice sur les normes .
Soit [tex] N(x,y)=\int_{0}^1\left|x+ty\right|dt [/tex] avec [tex] (x,y) \in \R^2 [/tex] . Montrer que cette relation définie bien une norme. Je n'arrive pas à démontrer que [tex] N(x,y)=0 \Rightarrow (x,y)=(0,0) [/tex] , les deux autres propriétés se démontre facilement .
Ensuite pour la deuxième question on me demande si cette norme est équivalente à la norme euclidienne , pour celle-ci aussi je n'arrive pas à répondre. Merci de me donner des indications .

Bonjour , j'ai un problème avec cette exercice d'algèbre bilinéaire qui n'a pas l'air d'etre difficile .
On me donne un espace vectoriel [tex]\ E=R^3[/tex] muni du produit scalaire usuel , et [tex]F[/tex] un sous-espace de  E avec [tex]F[/tex] d'équation [tex]x+y+z = 0[/tex] et [tex]v= (2,1,0)[/tex].

1) Trouver la valeur de [tex]\min_{w\in F}||v-w||[/tex].
2) En déduire un vecteur w qui répond au min.

Pour la 1) je crois que [tex]\min_{w\in F}||v-w||[/tex] = [tex]|| v - p(v)||[/tex] (Orthogonalisation , normalisation , calcul du projecteur ) , je calcule cette valeur et je trouve la valeur du min.

Pour la 2) je ne comprend pas la question .

Expliquez moi la 2) et corrigez moi la 1) . Merci .

Bonsoir , j'ai des doutes du cette exercice de topologie :

Soit [tex](E,||.||)[/tex] un EVN sur [tex]\R[/tex] , [tex](x,y)\in E \ne (0,0)[/tex] et [tex]f(E) = sup \bigg(\frac{||x+y||^2 + ||x-y||^2}{2||x||^2 + 2||y||^2}\bigg)[/tex]. On me dit de calculer [tex]f(\R^2)[/tex] avec [tex]\R^2[/tex] muni de la norme Euclidienne donc j'ai remplacé la norme [tex]||.||[/tex] par la norme Euclidienne dans l'expression de [tex]f(E)[/tex] avec [tex]E=\R^2[/tex] et je trouve que [tex]f(\R^2) = 1[/tex]. Est ce que ce résultat est exact ?

Bonjour , j'ai encore un problème avec les séries de fonctions .
On me donne comme série [tex]\U_n(x)[/tex]= [tex]\sum_{n\ge 1}^\infty \frac{\((-1)^n}{x^2 + n^2}[/tex].

On me demande de montrer que cette série alternée converge simplement sur l'ensemble [tex]\R^+[/tex] , déja j'ai vu que [tex]\left|\U_n(x)\right|[/tex] est croissante sur un certain intervalle [tex][0,n][/tex] et décroissante et tend vers 0 sur le reste de l'ensemble. Donc ici je me dis que je ne peux pas utiliser le théorème des séries alternées , ensuite j'ai utilisé la convergence absolue et je trouve que série converge , la question est : est ce que je peux utiliser la convergence absolue pour montrer la convergence simple d'une série alterné ?

Puis viens la 2ème question où on me demande d'étudier la convergence uniforme de la série [tex]\U_n(x)[/tex] sur [tex]\R^+[/tex] , j'ai vérifié avec la convergence normale , la série n''est pas normalement convergente. Après qu'est ce que je dois utiliser pour vérifier la convergence uniforme ?
J'ai éssayé de voir si la série est uniformément de Cauchy mais rien à faire je vois des choses monstrueuses , l'utilisation de la négation du critère de Cauchy ne donne rien non plus , d'ailleurs je ne sais pas quoi prendre pour la négation . Merci.

Bonjour , j'ai une question sur les intervalles . Je me poses cette question si on me donne un intervalle [tex][0,\alpha][/tex] avec [tex]\forall \alpha > 0[/tex] alors est ce que je peux dire que [tex][0,\alpha][/tex]=[tex]\R^+[/tex] ?

Parce que dans un exercice on me demande d'étudier la convergence normale d'une série de fonction sur [tex]\R^+[/tex] j'ai trouvé qu'elle ne convergeait pas normalement car le sup de la valeur absolue du terme général de la série divergeait , ensuite on me demande d'étudier la convergence normale sur [tex][0,\alpha][/tex] et cette fois la série convergeait normalement sur cette ensemble , ensuite on me dit d'en déduire la continuité de la fonctions sur [tex]\R^+[/tex] .

C'est pour ça que je vous demande si on peut dire que les 2 ensembles [tex][0,\alpha][/tex] et [tex]\R^+[/tex] sont égaux parce que sinon je ne vois pas comment étudier la continuité sur [tex]\R^+[/tex] à moins d'avoir la convergence uniforme mais il s'agit ici de faire une déduction à partir des questions précédente, tout ce que je peux dire c'est que la fonction somme des termes de la série est continue sur [tex][0,\alpha][/tex] car  sa série converge normalement alors elle converge uniformément sur [tex][0,\alpha][/tex] donc elle est continue sur cette invervalle.

PS : voila la série de fonctions [tex]\sum\frac{x}{x^2 + n^2}[/tex] avec [tex]n\ge 1[/tex].

Merci.