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MIAS2

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Norme avec une intégrale

Bonjour , j'ai un problème pour cette exercice sur les normes .
Soit [tex] N(x,y)=\int_{0}^1\left|x+ty\right|dt [/tex] avec [tex] (x,y) \in \R^2 [/tex] . Montrer que cette relation définie bien une norme. Je n'arrive pas à démontrer que [tex] N(x,y)=0 \Rightarrow (x,y)=(0,0) [/tex] , les deux autres propriétés se démontre facilement .
Ensuite pour la deuxième question on me demande si cette norme est équivalente à la norme euclidienne , pour celle-ci aussi je n'arrive pas à répondre. Merci de me donner des indications .

Dernière modification par MIAS2 (04-06-2010 16:04:28)

essai

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Re : Norme avec une intégrale

Bonjour MIAS2 ,

Alors pour la question que tu n'arrives pas à montrer c'est un raisonnement qui revient extrêmement souvent donc je pense qu'il est utile de bien le mémoriser car plein d'exos se font comme ça. Mais bon, faut l'avoir vu pour y penser, ça c'est sûr :

Si N(x,y) = 0 alors pour tout t de [0,1], x+yt =0
Donc le polynôme x+Ty (polynôme en t de R[T] de degré 1) admet une infinité de racines (tout [0,1]). Le seul polynôme a avoir une infinité de racines est le polynôme nul (un polynôme non nul ne peut avoir plus de racines que sont degré !!). donc x+Ty est le polynôme nul donc x=y=0.

Pour l'équivalence des normes : on est sur RxR donc de dimension finie et en dimension finie toutes les normes sont équivalentes !

Bonne soirée

thadrien

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Re : Norme avec une intégrale

Salut,

Quand tu passes de "l'intégrale de f sur [0,1] est nulle" à "f est nulle sur [0,1]", il ne faut pas oublier de vérifier deux conditions :

- f est positive
- f est continue

Dans ton problème, c'est bien le cas.

MIAS2

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Re : Norme avec une intégrale

Bonjour MIAS2 ,

Alors pour la question que tu n'arrives pas à montrer c'est un raisonnement qui revient extrêmement souvent donc je pense qu'il est utile de bien le mémoriser car plein d'exos se font comme ça. Mais bon, faut l'avoir vu pour y penser, ça c'est sûr :

Si N(x,y) = 0 alors pour tout t de [0,1], x+yt =0
Donc le polynôme x+Ty (polynôme en t de R[T] de degré 1) admet une infinité de racines (tout [0,1]). Le seul polynôme a avoir une infinité de racines est le polynôme nul (un polynôme non nul ne peut avoir plus de racines que sont degré !!). donc x+Ty est le polynôme nul donc x=y=0.

Pourquoi dit-tu que [tex]x+ty=0[/tex] admet une infinité de racines ?? Est ce parce que [tex] (x,y)\in \R^2 [/tex] et donc on a que [tex] t=\frac{-y}{x}[/tex] donc [tex] \exists[/tex] une infinité de solutions pour le polynome [tex] x+ty=0[/tex] ? ne doit-on pas avoir [tex]x\ne0 [/tex] ? Je m'embrouille complètement !!!!!

Dernière modification par MIAS2 (04-06-2010 21:50:15)

thadrien

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Re : Norme avec une intégrale

Pourquoi dit-tu que [tex]x+ty=0[/tex] admet une infinité de racines ??

Car pour tout t de [0,1], x+ty = 0. Ici, x+ty est vu comme un polynôme en t, et non en x comme habituellement.

MIAS2

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Re : Norme avec une intégrale

Ah oui !!!!!!!!!!!!!!! je comprends maintenant , j'ai cru que [tex] t \in \R [/tex]  , j'ai mal lu le message. Merci à tous les deux !

thadrien

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Re : Norme avec une intégrale

Je t'invite à refaire l'intégralité du raisonnement, pour être sûr d'avoir bien compris tous les points. Il n'y a rien de très compliqué, mais il y a beaucoup d'occasions de se planter.