Forum de mathématiques - Bibm@th.net

MIAS2

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Compact

Bonsoir ,
On me donne cette exercice , soit [tex]K[/tex] une partie compact de [tex] (E,d) [/tex]. Montrer que [tex]\forall x \in E [/tex],  [tex]\exists y \in K [/tex] tel que [tex] d(x,K)=d(x,y) [/tex].
Voilà comment j'ai procédé.

Comme K est un compact il existe une suite extraite [tex]\ U_\phi_(n)[/tex] qui converge vers [tex] y[/tex]. 

[tex]\left|d(x,K)-d(x,y)\right|[/tex] [tex] \le \left|d(x,\ U_\phi_(n))-d(x,y)\right|[/tex] [tex]\le[/tex] [tex]\ d(U_\phi_(n) , y)[/tex] car d est contractante, donc en  faisant tendre  [tex]n \rightarrow +\infty [/tex] on obtient [tex] d(y,y) =0 [/tex]  donc [tex] \ d(x,K)=d(x,y)[/tex].

Alors est ce que cette démarche est exacte ??

Dernière modification par MIAS2 (14-12-2010 20:16:28)

Fred

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Re : Compact

Bonsoir,

  Tu n'a pas précisé ce qu'était ta suite [tex](u_n)[/tex]....

A+
Fred.

MIAS2

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Re : Compact

y est la valeur d'adhérence d'une suite Un de K , donc on peut une suite extraite citée plus haut qui converge vers y.

Dernière modification par MIAS2 (15-12-2010 06:44:33)

Fred

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Re : Compact

Certes, mais tu ne peux pas prendre n'importe quelle suite [tex](u_n)[/tex] de K.
Il n'y a aucune raison que cette suite converge vers un point où le minimum de la distance est atteint.
En plus, tu ne justifies pas l'inégalité
[tex]|d(x,K)-d(x,y)|\leq d(x,u_{\phi(n)})-d(x,y)|[/tex]

Pour commencer, il faut partir d'une suite [tex](u_n)[/tex] de K telle que [tex]d(x,u_n)\to d(x,K)[/tex]
et extraire à partir de cette suite...

Fred.

MIAS2

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Re : Compact

J'ai justifié l'inégalité parce que la suite extraite [tex]\ u_\phi(n) \in K[/tex]  alors [tex]\ d(x,K) \le d(x,u_\phi(n)) [/tex]. Le troisième membre de l'inégalité en haut (message #1) qui s'obtenait par contraction de la distance , est-il exact au moins parce que j'ai un doute sur celui là.

Dernière modification par MIAS2 (16-12-2010 13:28:13)

wejdenne

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Re : Compact

bonsoir
c'est just une idée
on peut considerer l'application d:=distance qui est continue donc elle atteint ses bornes sur un compact
merci

Fred

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Re : Compact

J'ai justifié l'inégalité parce que la suite extraite [tex]\ u_\phi(n) \in K[/tex]  alors [tex]\ d(x,K) \le d(x,u_\phi(n)) [/tex].

C'est vrai que [tex]\ d(x,K) \le d(x,u_\phi(n)) [/tex] mais cela n'entraine pas pour autant ton inégalité.

Par exemple, tu as [tex]2\leq 3[/tex] alors que [tex]|2-3|\geq |3-3|[/tex].

Le troisième membre de l'inégalité en haut (message #1) qui s'obtenait par contraction de la distance , est-il exact au moins parce que j'ai un doute sur celui là.

Oui, oui, il était correct. C'est même l'inégalité triangulaire.

Fred.