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#1 25-04-2010 11:34:43
- MIAS2
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Convergence et continuité
Bonjour , j'ai une question sur les intervalles . Je me poses cette question si on me donne un intervalle [tex][0,\alpha][/tex] avec [tex]\forall \alpha > 0[/tex] alors est ce que je peux dire que [tex][0,\alpha][/tex]=[tex]\R^+[/tex] ?
Parce que dans un exercice on me demande d'étudier la convergence normale d'une série de fonction sur [tex]\R^+[/tex] j'ai trouvé qu'elle ne convergeait pas normalement car le sup de la valeur absolue du terme général de la série divergeait , ensuite on me demande d'étudier la convergence normale sur [tex][0,\alpha][/tex] et cette fois la série convergeait normalement sur cette ensemble , ensuite on me dit d'en déduire la continuité de la fonctions sur [tex]\R^+[/tex] .
C'est pour ça que je vous demande si on peut dire que les 2 ensembles [tex][0,\alpha][/tex] et [tex]\R^+[/tex] sont égaux parce que sinon je ne vois pas comment étudier la continuité sur [tex]\R^+[/tex] à moins d'avoir la convergence uniforme mais il s'agit ici de faire une déduction à partir des questions précédente, tout ce que je peux dire c'est que la fonction somme des termes de la série est continue sur [tex][0,\alpha][/tex] car sa série converge normalement alors elle converge uniformément sur [tex][0,\alpha][/tex] donc elle est continue sur cette invervalle.
PS : voila la série de fonctions [tex]\sum\frac{x}{x^2 + n^2}[/tex] avec [tex]n\ge 1[/tex].
Merci.
Dernière modification par MIAS2 (25-04-2010 11:40:01)
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#2 25-04-2010 12:51:56
Re : Convergence et continuité
Salut,
Non, les ensembles [tex][0,\alpha][/tex] et [tex]R^+[/tex] ne sont pas et ne seront jamais égaux !
Par contre, [tex]\cup_{a=0}^{+\infinity} {[0,\alpha]} = R^+[/tex]. Donc, si pour tout [tex]\alpha[/tex], f est continue sur [tex][0,\alpha][/tex], alors, f est continue sur R.
Le truc de la démonstration, c'est que la continuité est une propriété locale, et que tu peux faire des regroupements d'intervalles.
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