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Bonjour

On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de $E \rightarrow K$, c'est-à-dire toute application $f: E\rightarrow K$ telle que

$\forall (x,y)\in E^2$, $\forall\lambda \in K,$ $f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+ f(y)$

L'ensemble $L(E,F)$ des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel, appelé l'espace dual de E et noté noté E'.

Dit autrement un espace dual est l'ensemble des applications linaires de $E \rightarrow K$

je ne suis pas sur d'avoir compris cette définition.
Auriez vous des exemples de dual E'?

Je suis surpris de comprendre que le dual d'un espace E est l'ensemble des applications linéaire.

Merci d'avance

Bonjour,

J'ai un exercice et je ne comprends pas la signification de $exp |_{B}^{C\R_-}$ sachant que B est défini de la façon suivante $B = R+i]-\pi,pi[$.

De plus je dois prouver que $exp|_{B}^{C\R_-}$ est une bijection dont l'application réciproque est l'application de $C-R_-$ dans $B$ notée Log définie par $Log(z)=Logz$ pour tout $z\in C-R_-$.

Quelques conseils seraient le bienvenue.

Merci d'avance.

Bonsoir,
Je souhaite prouver que $\ell_1 \mapsto -\lambda(1-z)$ est une détermination analytique du logarithme sur $D_{1}=D(1,1)$ si $z \in D(0,1)$  et $\displaystyle \lambda(z) = \sum_{n\in N}\frac{z^{n+1}}{n+1}$.

J'exprime $\ell_1$ de la façon suivante :
$\displaystyle \ell_1(z)=-\sum_{n\in N}\frac{z^{n+1}}{n+1} + \sum_{n\in N}\frac{z^{n+2}}{n+1}$
$\displaystyle \ell_1'(z)=-\sum_{n=1}^{\infty}z^n + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+2)z^{n+1}}{n+1}$
Le premier terme est $-\sum_{n=1}^{\infty}z^n = -\frac{1}{1-z}$ pour $|z|<1$
Après intégration du premier terme on obtient un logarithme.

En intégrant $\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{k\geq 0}z^k \Leftrightarrow -ln(1-z) + ln(1-0) =  \sum_{k\geq 0}\frac{z^{k+}}{k+1} = \sum_{k\geq 1}\frac{z^k}{k}$
donc
$\displaystyle -ln(1-z)  =  \sum_{k\geq 1}\frac{z^k}{k}$ $(1)$

Nous avons :
$\displaystyle \ell_1'(z)=-\sum_{n=1}^{\infty}z^n + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+2)z^{n+1}}{n+1}
= -\sum_{n=1}^{\infty}z^n + \sum_{n=2}^{\infty}z^n +\sum_{n=2}^{\infty}\frac{z^n}{n}$

Les deux premières somme s'annulent, on trouve
$\displaystyle \ell_1'(z)= \sum_{n=2}^{\infty}\frac{z^n}{n}$ $(2)$

En intégrant (2) et en utilisant le résultat (1) on obtient :
$\displaystyle \ell_1(z)= -ln(1-z)$

ce qui prouve que $l_1$ est une détermination analytique du logarithme sur $D_1(1,1)$

Je ne suis pas sur du résultat donc un avis avisé me serait bien utile.

Merci d'avance

Bonsoir,

Un petit problème que je n'arrive pas à comprendre correctement

Soit $f : C\rightarrow C$, $f(z)=z^2$, il faut montrer que f est soit injective ou surjective.

Par définition de la surjectivité : $\forall (z,z')\in C$, $f(z)=f(z') \Rightarrow z=z'$

On montre donc  $\forall (z,z')\in C$, $z^2=z'^2 \Rightarrow z=z'$ je serais tenté de dire que f est injective mais
si je prends $f(2i)=-4, f(-2i)=-4$ un truc que je ne comprends pas l'image -4 à donc 2 antécédents elle est donc pas injective.

Donc comment je pourrais l'écrire formellement avec la définition?

Merci d'avance

Bonjour
Je dois calculer le rayon de convergence de la série
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} \frac{(3n)!}{(n!)^3}z^n$

Je commence par écrire :
$\displaystyle |\frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}| = |x| \frac{3(n+1)!}{((n+1)!)^3} \frac{(n!)^3}{(3n)!}$

Je connais seulement la relation $(n+1)! = (n+1)n!$, et je n'arrive pas à avancer.

Pourriez vous me donner quelque conseille concernant ce problème?

Merci d'avance