Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sbl_bak

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Ecriture _ exponentielle

Bonjour,

J'ai un exercice et je ne comprends pas la signification de $exp |_{B}^{C\R_-}$ sachant que B est défini de la façon suivante $B = R+i]-\pi,pi[$.

De plus je dois prouver que $exp|_{B}^{C\R_-}$ est une bijection dont l'application réciproque est l'application de $C-R_-$ dans $B$ notée Log définie par $Log(z)=Logz$ pour tout $z\in C-R_-$.

Quelques conseils seraient le bienvenue.

Merci d'avance.

leon1789

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Re : Ecriture _ exponentielle

Bonsoir
que peux-tu dire sur cette application : $(a+ib) \in B  \longmapsto \exp(a) . \exp(ib)$ ? (...avec $a,b$ réels bien sûr)
injection ? image = $\mathbb C \setminus \mathbb R^-$ ?

Dernière modification par leon1789 (19-09-2016 22:30:39)

Yassine

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Re : Ecriture _ exponentielle

Bonjour,
La notation $f|_Y$ indique la restriction d'une fonction $f: X \to Z$ à un sous-ensemble $Y \subset X$.
Par contre, je ne connais pas la notation $f^X$ pour $f$ fonction et $X$ un ensemble. Je connais la notation $Y^X$ où $X$ et $Y$ sont des ensembles et qui désigne l'ensemble des applications de $X$ dans $Y$ (l'exponentiation est suggérée par le fait que lorsque $X$ et $Y$ sont finis, le cardinal de cet ensemble est $|Y|^{|X|}$).
Je pense néanmoins que l'indication donnée par Léon est la bonne dans ce contexte.

sbl_bak

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Re : Ecriture _ exponentielle

Bonjour,
Tout d'abord merci pour la réponse.

Nous pouvons écrire le problème de la facon suivante :
Posons $f$ une application et $z= a+ib \in B$ avec $a,b\in R$
Soit $ f : B \rightarrow C-R^-$ , $\displaystyle (a+ib)\mapsto (expa)(expib)$
Car l'image réciproque est par hypothèse $f^{-1}(C-R^-) = \lbrace z\in B | f(z)\in C-R^- \rbrace$

donc l'image est $C-R^-$

f est injective si seulement si toutes les images de f admettent un antécédent.
Dans notre cas nous pouvons dire que f admet un antécédent donc f est injective.

Il faut donc montrer la surjectivité.
Est ce que je suis sur la bonne direction?

Merci d'avance

Yassine

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Re : Ecriture _ exponentielle

Bonjour,
D'abord en termes de notation : il faut utiliser la police mathbb pour écrire $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$. Le code Latex est donc Dollar \mathbb{R} Dollar
Ensuite, pour la différence d'ensembles, on écrit $X \setminus Y$ et non $X - Y$ (code Latex : \setminus).
Si tu as la flemme de tapper, tu peux clicker-droit sur une formule déjà écrite et choisir 'Show Math As' --> 'TeX Commands' et recopier le texte que tu peux ensuite coller entre deux symboles 'Dollar'
il vaut mieux écrire $exp(a)$ ou $exp(ib)$ au lieu de $expa$ et $expib$ comme tu le fais.

Sur le fond maintenant, tu dis

Car l'image réciproque est par hypothèse  $f^{-1}(\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-) = \lbrace z\in B | f(z)\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^- \rbrace$

Il ne s'agit pas d'une hypothèse mais de la définition d'une image réciproque.

Ensuite :

donc l'image est $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-$

d'ou vient ce 'donc' ?

Par ailleurs, tu mélanges l'injectivité et la surjectivité.
Pour rappel, $f$ est surjective si $\forall z \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^- \exists b \in B, f(b) = z$ (tout élément à un antécédent).
et $f$ est injective si $\forall a,b \in B, f(a)=f(b) \implies a=b$.

sbl_bak

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Re : Ecriture _ exponentielle

Merci pour les notations et le clic droit.

Pour vous répondre au mieux :
1 - J'ai voulu répondre à la question de leon1789 ; est ce : que $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-$ est l'image de l'application $(a+ib) \in B  \longmapsto \exp(a) . \exp(ib)$

=> Effectivement c'est bien la définition de l'image réciproque utilisée dans le cadre du problème.

2 - d’où le "donc", mal écrit oui.

J'aurai du écrire $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-$ est l'image réciproque de $(a+ib)\in B \mapsto exp(a).exp(ib)$

3-  Je ne pense pas avoir confondu l'injectivité et la surjectivité p/r à ce que j'ai écrit :

$\forall a,b \in B, f(a)=f(b) \implies a=b$ $\Leftrightarrow$ f est injective si toutes les images admettent un unique antécédent. non?

5 - Je parle de la surjectivité car comme l'on sait f est bijective si f est injective et surjective.

Yassine

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Re : Ecriture _ exponentielle

J'aurai du écrire $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-$ est l'image réciproque de $(a+ib)\in B \mapsto exp(a).exp(ib)$

Attention $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-$ est l'ensemble destination de la fonction. Les images réciproques sont des sous-ensemble de l'ensemble de départ $B$. De plus, parler de l'image réciproque de $f: B \to Z$ n'a pas trop de sens. On parle de l'image réciproque d'une partie $Z' \subset Z$ par la fonction $f: B \to Z$ qui est définie comme le sous-ensemble $f^{-1}(Z') := \{ x \in B\ | \ f(x) \in Z'\}$, qui est clairement un sous-ensemble de $B$.

3-  Je ne pense pas avoir confondu l'injectivité et la surjectivité p/r à ce que j'ai écrit :

$\forall a,b \in B, f(a)=f(b) \implies a=b$ $\Leftrightarrow$ f est injective si toutes les images admettent un unique antécédent. non?

Tu as marqué exactement 'f est injective si seulement si toutes les images de f admettent un antécédent', ce qui est un peu tautologique (les images admettent forcément un antécédent). Avec le mot 'unique', ça change la phrase et c'est en effet la définition de l'injectivité.

Tu disais dans le post précédent (je n'avais pas relevé)

Dans notre cas nous pouvons dire que f admet un antécédent donc f est injective

La notion d'"antécédent de f" n'est pas définie.
Si c'est l'image réciproque du l'ensemble d'arrivé, alors c'est l'ensemble de départ et ce pour toute application.