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sbl_bak

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Topologie - compact

Bonjour,
Je souhaite montrer la proposition ci-dessous mais je bloque sur l'application de l'inégalité triangulaire.

Proposition
Soit $(X,d)$ un espace métrique et A est une partie de X, on a l'implication suivante :

$A$ est compact $\displaystyle \Rightarrow$ A est Fermée.

On peut le montrer par $B = A^c$ est un ouvert, ce qui démontrera le résultat.
Soit $b\in B$ et comme $b$ n'est pas dans $A$, on $\forall a \in A$, $d(a,b)>0$

On a un recouvrement ouvert de A, qui est :

$\displaystyle A\subset \cup_{a\in A} B(a,d(a,b)/2)$

.

On utilise le fait que A est compat, on peut donc trouver un sous recouvrement fini ouvert dans $A$, telles que

$\displaystyle A\subset \cup_{n=1}^{N} B(a_n,d(a_n,b)/2)$

Soit $r>0$ et $r = min(d(a_n,b)/2)$

Je dois donc montrer que l'intersection $\displaystyle B(a_n,d(a_n,b)/2) \cap B(b,r) = 0$

Je bloque à ce niveau il faut appliquer l'inégalité triangulaire, je prend
Soit $c\in B(b,r)$, on a $d(a_n,c) \leq d(a_n,b)+d(b,c)$

Merci d'avance de votre aide.

Roro

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Re : Topologie - compact

Bonsoir sbl_bak,

Pour terminer la preuve, tu peux le faire par l'absurde (le but étant - comme tu l'as dis - de montrer que pour tout [tex]n[/tex], l'intersection [tex]B(a_n,d(a_n,b)/2) \cap B(b,r)[/tex] est vide).

Tu prends [tex]x \in B(a_n,d(a_n,b)/2) \cap B(b,r)[/tex] et tu appliques l'inégalité triangulaire (je note [tex]d_n = d(b,a_n)[/tex]).
Tu devrais arriver à une inégalité de la forme [tex]d_n \leq d(b,x) + d(x,a_n) <...< d_n[/tex] ce qui est absurde (je te laisse remplir les ... mais tu as presque tout fait, n'oublie pas les inégalités strictes qui implique l'absurdité).

Roro.

sbl_bak

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Re : Topologie - compact

Bonjour, merci Roro pour l'explication.

Je vais essayer de conclure :
Soit $\displaystyle x \in B(a_n,d(a_n,b)/2) \cap B(b,r)$.
Rappelons que,
$ B(a_n,d(a_n,b)/2 )= \lbrace x\in A, d(a_n,x)/2 <d(a_n,b)/2 \rbrace$ et
$B(b,r) = \lbrace x\in B = A^c, d(b,x)< r \rbrace$

On applique maintenant l'inégalité triangulaire :
Soit $b\in B(b,r)$, $d(a_n,b)\leq d(a_n,x)+d(x,b) < d(a_n,x)/2 + min( d(a_n,x)/2) < d(a_n,b)$ pour n= 1...N
Ce qui est absurde.
Donc $\displaystyle x \notin B(a_n,d(a_n,b)/2) \cap B(b,r) \Rightarrow B(a_n,d(a_n,b)/2) \cap B(b,r) = \varnothing$.

Par contre, le passage de l'inégalité avec le min n'est clair pour moi.

Dernière modification par sbl_bak (03-10-2016 16:11:43)

Roro

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Re : Topologie - compact

Bonsoir,

On applique maintenant l'inégalité triangulaire :
Soit $b\in B(b,r)$, $d(a_n,b)\leq d(a_n,x)+d(x,b) < d(a_n,x)/2 + min( d(a_n,x)/2)$

Je ne suis pas d'accord avec la dernière inégalité (et aussi avec le début de la ligne : $b\in B(b,r)$ n'est sans doute pas ce que tu voulais écrire !)
En fait c'est beaucoup plus simple : je pense que tu t'emmêles les pinceaux avec les notations :
Puisque $x\in B(an,d(an,b)/2))$ tu sais que
$d(a_n,x) < d(a_n,b)/2$           (1)
On a aussi $x\in B(b,r)$ donc $d(x,b) < r$. Par définition de $r$ tu sais que $r\leq d(an,b)/2$; tu en déduis donc
$d(x,b) < d(an,b)/2$                (2)

Il n'y a plus qu'à ajouter (1) et (2)...

Reprend tranquillement tout ça et tu verras qu'il n'y a rien de difficile !

Roro.

sbl_bak

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Re : Topologie - compact

Bonjour,
Effectivement, il faut écrire $x\in B(b,r)$.

Pour le reste j'ai bien compris.

De mon côté pour une meilleure compréhension, j'aime bien écrire la définition de la boule comme un ensemble, par exemple de la façon suivante :
$B(b,r) = \lbrace x\in B = A^c, d(b,x)< r \rbrace$

Dans tous les cas merci beaucoup de l'aide.