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sbl_bak

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rayon de convergence

Bonjour
Je dois calculer le rayon de convergence de la série
$\displaystyle \sum_{n\geq 0} \frac{(3n)!}{(n!)^3}z^n$

Je commence par écrire :
$\displaystyle |\frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}| = |x| \frac{3(n+1)!}{((n+1)!)^3} \frac{(n!)^3}{(3n)!}$

Je connais seulement la relation $(n+1)! = (n+1)n!$, et je n'arrive pas à avancer.

Pourriez vous me donner quelque conseille concernant ce problème?

Merci d'avance

Fred

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Re : rayon de convergence

Hello,

  Mon premier conseil serait de faire attention au parenthésage.
Tu dois écrire [tex] (3(n+1))!=(3n+3)! [/tex] au numérateur par exemple.
Sinon, tu es bien parti. Tu continues [tex] ((n+1)!)^3= (n+1)^3 n!^3[/tex]
et [tex](3n+3)!=(3n+3)(3n+2)!=(3n+3)(3n+2)(3n+1)!...[/tex].

F.

sbl_bak

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Re : rayon de convergence

Bonjour,

J'arrive au résultat suivant apres quelque simplification
$\frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n+1)!^2}{(n+1)^3}$
Il me reste $(n+1)!^2$ que je n'arrive pas à simplifier.

sbl_bak

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Re : rayon de convergence

...c'est bon je vient de trouver.

On obtient donc :
$|\frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}| = |x| \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3} \rightarrow 27|x|$

Donc le rayon de convergence est $R=\frac{1}{27}$

sbl_bak

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Re : rayon de convergence

Merci de votre aide!