Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salutations,

Je t'arrête tout de suite Nerosson, tu as montré que tu pouvais faire passer un pion blanc de droite à gauche si un espace séparai les blancs des noirs. Hors à la dernière ligne de ta séquence, aucun espace ne sépare ceux-ci.
Moralité : tu es bloqué!

D'ailleurs le seul mouvement autorisé qu'il te reste est : B NNNNNBBBB. Puis, plus rien ne bouge.

Salutations,

Thibault

A tête reposée, j'ai trouvé l'astuce et donc le résultât 13.

Joli problème,

Thibault

C'est aussi à ça que je suis arrivé aujourd'hui.
Donc, en reprenant la notation de ton post #2, on a [tex]u_n\in E_{p_n}[/tex] et pas nécessairement [tex]u_n\in E_n[/tex]. Mais comme tu l'as si bien montré, on a pas besoin de plus pour arriver au résultat.

Merci beaucoup pour ton aide,

A bientôt,

Thibault

Bonjour Tipha,

Quelques idées pour ton problème :

1a) Quelle est 'aire du triangle de départ? Est-ce que l'air Sn peut être plus grande que celle-ci ?
1b) Conjecturer veut dire émettre une hypothèse. Non pas une hypothèse au sens mathématique mais bien au sens courant, qqch que tu penses être vrai mais que tu ne peux pas (encore) démontrer. On te demande de deviner :)

D'après toi, si tu colories un peu plus à chaque étape, est-ce que l'aire coloriée va augmenter? diminuer? Et le périmètre?
Pour les limites, est-ce que tout le triangle de départ va finir par être colorié? ou pas? Est-ce que le périmètre peut devenir arbitrairement grand?

2) Maintenant on démontre.

Tu es d'accord qu'à la première étape on colorie 1/4 du triangle. Si je note A1 l'aire à la première étape et A l'aire du triangle de départ, j'ai :

[tex]A_{1}=\frac{A}{4}[/tex]

à la deuxième étape j'ai quatre triangles de même taille que A1, l'un est colorié entièrement, les trois autres au quart, ou :

[tex]A_{2}= A_{1}+3\cdot \frac{A_{1}}{4}= \frac{A}{4}+3\cdot\frac{A/4}{4}
    =(1+\frac{3}{4})\cdot \frac{A}{4}[/tex]

A la troisième étape tu auras [tex]A_{3}=(1 + \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^{2})\cdot \frac{A}{4}[/tex]

Par récurrence tu vas réussir à montrer que [tex]A_{n}=(1 + \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^{2}+\cdots+ (\frac{3}{4})^{n-1})\cdot \frac{A}{4}[/tex]

Question : Est-ce que cette valeur admet une limite à l'infini, i.e. est-ce que la série [tex]\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{3}{4})^{n}[/tex] converge ?

Fais la même démarche pour le périmètre et ton exercice sera fini.

Salutations,

Thibault

Si je comprends bien le problème :

Soit [tex](B_{n})_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}[/tex] une suite telle que [tex]\lim_{n\to\infty}B_{n}=+\infty[/tex] et [tex]\lim_{n\to\infty}(B_{n+1}-B_{n})=0[/tex]
Montrer qu'il existe une fonction [tex] g:  \mathbb{N}\to \mathbb{N}[/tex] strictement croissante à partir d'un certain rang telle que [tex] B_{g(n)}-n\to_{n\to\infty}0[/tex]

Si tel est bien ton problème, choisis [tex]g(n)=min\{k\in\mathbb{N},B_{k}>n\}[/tex].
A toi de démontrer que cette fonction est bien strictement croissante à partir d'un certain rang et qu'elle satisfait le résultat recherché. Ca ne devrait pas être trop dur.

Salutations,

Thibault

P.S. : Si quelqu'un peut éclairer mes piètres connaissances en Latex, dans l'expression [tex]\to_{n\to\infty}[/tex] comment faire pour que le [tex]n\to\infty[/tex] soit en dessous de la flèche ?