Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Picatshou

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endomorphisme et projection

salut tout le monde,
est ce qu'il yà quelqu'un qui puissse me répondre sur cette question: est ce qu'une projection orthogonale n'est pas en  général un endomorphisme orthogonal ?Si non quels sont les différences entre les deux?
Merci d'avance!

Thibault

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Re : endomorphisme et projection

Non, une projection orthogonale n'est pas en général un endomorphisme orthogonal. En fait la seule projection orthogonale qui soit un endomorphisme orthogonal est l'identité ... Je te laisse réfléchir au pourquoi du comment.

Pour les définitions :

Un projecteur P dans un espace euclidien (ou hermitien) est un idempotent (i.e. [tex]P^2=P[/tex])
Il est orthogonal si Ker(P) est orthogonal à Im(P).

Un opérateur A sur un espace euclidien (resp. hermitien) X  est dit orthogonal (resp. unitaire) s'il préserve le produit scalaire. i.e. si [tex] <A(u), A(v)>=<u,v>,\forall u,v \in X [/tex]
En particulier il préserve la norme et les distances, c'est donc une isométrie, et donc il est injectif, ce qui n'est pas du tout le cas pour les projections.

Salutations,

Thibault