Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Thibault

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Inversion somme-somme dans un espace de Hilbert

Bonjour,

Tout d'abord salutations à tout le monde. Je suis nouveau sur le forum alors je me présente. Thibault, 24 ans, étudiant en mathématiques (bachelor 3) à l'Université de Neuchâtel en Suisse.

Voici le problème sur le quel je bute :

Soient X un espace de Hilbert séparable et [tex](e_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/tex] une base hilbertienne de X.
L'objectif est de montrer que : [tex]\forall{x}\in X, x=\sum_{n}<x,e_{n}>e_{n}[/tex]

Pour moi il suffit de montrer que [tex]x=\sum_{n}c_{n}e_{n}[/tex] et par continuité du produit scalaire on aura immédiatement [tex]c_{n}=<x,e_{n}>[/tex].

Si on fixe x dans X, par densité du sous-espace engendré par les [tex]e_{n}[/tex] dans X, on peut trouver une suite [tex]a_{n}[/tex] de combinaisons linéaires finies des [tex]e_{n}[/tex] qui converge vers x.
En écrivant [tex] b_{n}=a_{n}-a_{n-1}[/tex], on ramène cette suite à la série [tex] \sum_{n}b_{n}[/tex], chaque [tex]b_{n}[/tex] étant lui même une combinaison linéaire finie des vecteurs de base. Maintenant si on note [tex]b_{n,k}[/tex] le k-ième coefficient de [tex]b_{n}[/tex] on a: [tex]x=\sum_{n}\sum_{k}b_{n,k}e_{k}[/tex]

Si on peut inverser les sommes on obtient exactement l'expression recherchée. Mon problème est de justifier l'inversion des sommes. Si on passe à la convergence absolue, on arrive assez facilement, à l'aide du théorème de Fubini, à montrer que la somme [tex]\sum_{k}(\sum_{n}b_{n,k})e_{k}[/tex] converge. Il reste à montrer que les deux suites convergent effectivement vers la même limite (soit x), mais là je bloque ...
Des pistes?

Salutations,

Thibault

Dernière modification par Thibault (03-01-2010 11:15:55)

Fred

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Re : Inversion somme-somme dans un espace de Hilbert

Bonsoir,

Je m'y prendrais un peu autrement. Tu notes [tex]E_n[/tex] le sous-espace engendré par les n premiers vecteurs [tex]e_n[/tex]. Par densité du sous-espace engendré par les [tex](e_n)[/tex], on peut trouver une suite [tex](u_n)[/tex] qui converge vers x et telle que [tex]u_n\in E_n[/tex].
Soit maintenant [tex]y_n[/tex] le projeté orthogonal de x sur [tex]E_n[/tex].
Le projeté orthogonal réalise la meilleure approximation, et on a donc :
[tex]\|x-y_n\|\leq \|x-u_n\|[/tex] et donc la suite [tex](y_n)[/tex] converge elle aussi vers x.
Mais on a aussi une expression du projeté orthogonal :
[tex]y_n=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle e_k[/tex]
Faire tendre n vers l'infini donne le résultat voulu.

Fred.

Thibault

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Re : Inversion somme-somme dans un espace de Hilbert

Bonsoir,

Je m'y prendrais un peu autrement. Tu notes [tex]E_n[/tex] le sous-espace engendré par les n premiers vecteurs [tex]e_n[/tex]. Par densité du sous-espace engendré par les [tex](e_n)[/tex], on peut trouver une suite [tex](u_n)[/tex] qui converge vers x et telle que [tex]u_n\in E_n[/tex].
[...]

Salut,

Merci pour ta réponse. Pour moi le fait qu'on puisse choisir [tex]u_n[/tex] "telle que [tex]u_n\in E_n[/tex]" n'est pas évident du tout. C'est même précisément le problème sur lequel je tombai dans une première tentative ou je cherchai à montrer que [tex]u_n[/tex] (quelconque cette fois-ci) et la suite des sommes partielles [tex]S_n=\sum_{k=1}^n <x,e_k> e_k[/tex] convergent vers une même limite.
Par contre l'idée d'utiliser la caractérisation des projections comme minimisant la distance pour assurer la convergence me semble excellente, je bûche dessus aujourd'hui et j'espère avoir la réponse ce soir.

Salutations,

Thibault

Dernière modification par Thibault (05-01-2010 12:34:45)

Fred

Administrateur

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Re : Inversion somme-somme dans un espace de Hilbert

Re-

  Il n'y a pas vraiment de problèmes.
Tu considères [tex](u_n)[/tex] une suite de l'espace vectoriel engendré par les [tex]e_n[/tex] qui converge vers x.
Alors [tex]u_n[/tex] est une combinaison linéaire finie des [tex]e_n[/tex] et donc
[tex]u_n=\sum_{k=0}^{p_n}a_k e_k[/tex]
où [tex]p_n[/tex] est un entier.
Maintenant, si [tex]v_n=\sum_{k=0}^ {p_n}\langle x,e_k\rangle e_k[/tex], alors on a [tex]\|x-v_n\|\leq \|x-u_n\|[/tex], et il suffit la encore de faire tendre n vers plus l'infini (si la suite [tex]p_n[/tex] ne tend pas vers plus l'infini, alors une sous-suite est stationnaire est x est une combinaison linéaire finie des vecteurs de la base).

Fred.

Thibault

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Re : Inversion somme-somme dans un espace de Hilbert

C'est aussi à ça que je suis arrivé aujourd'hui.
Donc, en reprenant la notation de ton post #2, on a [tex]u_n\in E_{p_n}[/tex] et pas nécessairement [tex]u_n\in E_n[/tex]. Mais comme tu l'as si bien montré, on a pas besoin de plus pour arriver au résultat.

Merci beaucoup pour ton aide,

A bientôt,

Thibault