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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 26-01-2010 20:54:16
- Picatshou
- Membre
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- Messages : 272
intégrale dépendante d'un paramètre
bonsoir tout le monde ,
dans un exercice il est demandé de montrer que la fonction suivante n'est pas dérivable en 0 :
F(x)= [tex]\int^{+\infty}_0{\frac{(1-costx)}{(1+t^2)}dt[/tex]
j'ai essayé par la démarche de dérivabilité d'une fonction dépendante d'un paramètre mais je n'ai rien trouvé.
Merci beaucoup si jamais vous pouvez m'aider!
Dernière modification par Picatshou (26-01-2010 20:55:12)
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#2 26-01-2010 22:16:24
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : intégrale dépendante d'un paramètre
Bonsoir,
T'es sûr que tu veux démontrer que F n'est pas dérivable en 0, parce que dans ce cas, utiliser les théorèmes qui te disent qu'une intégrale à paramètres est dérivable, je ne vois pas l'intérêt!
Fred.
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#3 27-01-2010 06:33:01
- Picatshou
- Membre
- Inscription : 01-11-2009
- Messages : 272
Re : intégrale dépendante d'un paramètre
bonjour M. Fred, effectivement l'intérêt est d'appliquer ces théorèmes et c'est ici que j'ai trouvé un problème je n'ai pas trouvé une absurdité ??????
merci d'avance de me répondre!
Dernière modification par Picatshou (27-01-2010 20:39:32)
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#6 27-01-2010 21:14:45
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : intégrale dépendante d'un paramètre
Bonsoir,je n'ai pas encore s'en sortir et le problème reste le même?!
merci d'avance de me donner une réponse.
Tu sais Picatshou, on n'est pas des super-héros.
Si quelqu'un pouvait répondre facilement à ta question, il le ferait.
Pour moi, je ne ferai que me répéter. Si tu veux démontrer que ta fonction n'est pas
dérivable, il n'y a aucun intérêt à utiliser les théorèmes de dérivation sous le signe intégral.
Ce résultat est une condition suffisante, pas une condition nécessaire et suffisante. Ce n'est pas
parce que ses conditions d'application ne sont pas remplies que ta fonction ne sera pas dérivable.
Fred.
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#9 29-01-2010 17:35:35
- Thibault
- Membre
- Inscription : 03-01-2010
- Messages : 40
Re : intégrale dépendante d'un paramètre
Bon,
J'avoue volontiers que la théorie de la mesure ce n'est pas mon dada favori. Je n'ai donc pas fait les calculs, et je n'ai pas envie de les faire. Ceci étant dit, j'ai une ou deux idée. Si tu les as explorées et qu'elles ne fonctionnent pas tant pis, si tu ne les a pas explorée ben voilà du travail.
Pour moi cette fonction a une tête "assez régulière" pour être dérivable presque partout. La question est de savoir où?
A l'aide du théorème de dérivabilité sous le signe intégral (désolé Fred), je tenterai de démontrer qu'elle est dérivable sur tout intervalle de la forme [tex][ \epsilon ; +\infty ][/tex] ou [tex][ -\infty ; -\epsilon][/tex] puis, à l'aide de l'expression de la dérivée que te donne le théorème, de montrer que les limites à droite et à gauche en 0 ne coïncident pas.
Comme on dit chez nous les djeun's : my two cents.
Salutations
Thibault
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#10 31-01-2010 22:39:52
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : intégrale dépendante d'un paramètre
A l'aide du théorème de dérivabilité sous le signe intégral (désolé Fred), je tenterai de démontrer qu'elle est dérivable sur tout intervalle de la forme [tex][ \epsilon ; +\infty ][/tex] ou [tex][ -\infty ; -\epsilon][/tex] puis, à l'aide de l'expression de la dérivée que te donne le théorème, de montrer que les limites à droite et à gauche en 0 ne coïncident pas.
Tu n'as pas à être désolé, je me trompe souvent!
Sauf que là, c'est toi qui a tort. Une fonction peut très bien être dérivable sans que sa dérivée ne soit continue en un point. Par exemple, si tu considères [tex]f(x)=x^2\sin(1/x)[/tex], avec [tex]f(0)=0[/tex], alors elle est dérivable en 0 (par le calcul du taux d'accroissement). En revanche, si tu calcules f'(x) pour x non-nul et que tu cherches la limite en 0, et bien tu verras que f' n'est pas continue en 0.
Fred.
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