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#1 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme » 04-03-2025 19:54:38
Bonjour,
Étant donné trois entiers consécutifs (n - 1), (n) et (n + 1) ,
la demi-somme des carrés admet pour expression:
A= ((n - 1)2 + (n + 1)2)/2 = (n2 - 2n + 1 + n2 + 2n + 1)/2 = (2n2 + 2)/2
soit finalement, en accord avec ce qui est annoncé:
A = n2 + 1 .
#2 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Octangle étoilé, ou stella octangula » 25-02-2025 18:53:35
Re-bonjour Bernard-maths,
Je crois que ce que tu as construit et représenté (1) est plutôt une dipyramide allongée (2) plutôt qu'un antidiamant (3), lequel ne comporte pas de faces rectangulaires.
Cela s'apparente à 3 des solides de Johnson (n° 14, 15, 16), qui résultent de l'assemblage de polygones réguliers.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Dipyramide_allong%C3%A9e
https://fr.wikipedia.org/wiki/Solide_de_Johnson
Petit détail: je n'ai pas compris la raison de l'intervention de deux préfixes différents (bi, di) ... mais tu n'y es évidemment pour rien !
#3 Re : Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Octangle étoilé, ou stella octangula » 24-02-2025 18:52:30
Bonjour Bernard-maths
Une recherche lancée sur le terme "antipyramide" n'a conduit qu'à un article de Wikipédia rédigé en allemand:
https://de-academic.com/dic.nsf/dewiki/2322255
Ne s'agirait-il pas des antidiamants
https://fr.wikipedia.org/wiki/Antidiamant
https://www.mathcurve.com/polyedres/bip … mant.shtml
qui paraissent admettre pour dénomination synonyme le mot "trapézoèdre"
https://fr.wikipedia.org/wiki/Trap%C3%A9zo%C3%A8dre ?
En tout cas, il n'y a pas de facettes rectangulaires parallèles à l'axe de symétrie.
Hormis cette remarque, les figures sont bien représentées.
Le sujet s'apparente à celui des polyèdres étoilés
#4 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un ensemble de points » 21-01-2025 21:28:29
Bonsoir Cailloux,
... Les cas de figure sont innombrables !
En effet, je n'ai pas envisagé le cas de deux segments colinéaires, avec ou sans superposition.
Le chevauchement partiel doit conduire à des domaines à bords parallèles illimités.
PS: ... ce que j'ai vérifié dans 3 cas; le résultat, prévisible, est plus banal.
#5 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Le triplet pythagoricien dans la suite de Fibonacci » 21-01-2025 19:16:59
J'ai repris les valeurs successives de la suite de Fibonacci commençant par la paire (4, 7); le calcul des entiers (Xk, Yk, Zk) devient possible à partir du 4me terme, ainsi que l'écart Dk = Xk2 + Yk2 - Zk2
La croissance, de type exponentiel, est rapide: le rapport entre deux valeurs consécutives de chacun des termes (Xk, Yk, Zk) tend vers le carré du nombre d'or (φ2 = 1 + φ ~ 2.618034).
Le calcul avec la précision ordinaire est bloqué à la 23me étape (Z232 atteignant alors 2.2E20).
Je doute que la construction graphique évoquée soit facile.
#6 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Y'a un truc ... à trouver ? » 21-01-2025 13:03:00
Il faut si j'ai bien compris que les 2 premiers côtés vérifient:
a2 + b2 + (ab)2 = (ab + 1)2
soit
a2 + b2 + a2b2 = a2b2 + 2ab + 1
d'où
a2 + b2 -2ab = 1 et finalement: a - b = ± 1 .
Les deux premiers termes doivent différer de l'unité.
Ex: a = 10, b = 11; ab = 110; d = 12232 = 1112.
Je découvre à l'instant ton second message.
#7 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Y'a un truc ... à trouver ? » 21-01-2025 12:05:28
Bonjour Bernard-maths,
Je n'ai pas compris la question: que faut-il trouver ?
#8 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Le triplet pythagoricien dans la suite de Fibonacci » 20-01-2025 16:47:33
Bonjour,
Chaque terme d'une suite de Fibonacci est par définition la somme des deux précédents; il vient par conséquent pour quatre termes consécutifs (a, b, c, d): c = a + b et d = b + c = a + 2b .
Considérons dès lors les grandeurs X= ad, Y = 2bc et Z = b2 + c2 ; il vient en développant les expressions des carrés:
X2 = [a(a + 2b)]2 = [a2 + 2ab]2 = a4 + 4a3b + 4a2b2 ;
Y2 = 4b2c2 = 4b2(a + b)2 = 4a2b2 + 8ab3 + 4b4 ;
Z2 = (b2 + c2)2 = (a2 + 2ab + 2b2)2 = a4 + 4a2b2 + 4b4 + 4a3b + 8ab3 + 4a2b2
soit encore en ordonnant les termes:
Z2 = a4 + 4a3b + 8a2b2 + 8ab3 + 4b4 .
On vérifie aisément que le calcul de la somme (X2 + Y2) conduit à une expression identique.
Ainsi se vérifie la relation X2 + Y2 = Z2 , qui fait du triplet (X, Y, Z) un triplet pythagoricien.
Une vérification numérique rapide peut être effectuée sur calculatrice, par le calcul programmé de la grandeur g = X2 + Y2 - Z2 , qui apparaît systématiquement nulle quel que soit le rang des termes impliqués, pourvu qu'il s'agisse d'une suite de Fibonacci, caractérisée par la relation uk = uk-1 + uk-2 .
Exemples: la suite dont tu as envisagé le début (a, b, c, d) = (1, 1, 2, 3)
ou encore une autre commençant par (a, b, c, d) = (4, 7, 11, 18).
Disposes-tu d'une calculatrice programmable ? Elle permet des calculs très rapides, et tu gagnerais beaucoup à savoir l'employer.
PS: des vérifications analogues sont certainement possibles sur tableur Excell
#9 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un ensemble de points » 20-01-2025 11:39:41
Bonjour,
Il m'a paru intéressant de reprendre le problème pour deux positions mutuelles quelconques des segments (A1A2, B1B2), le premier point (A1) se superposant avec l"origine et le second (A2) étant place sur le demi-axe (Ox).
On a par conséquent d'emblée XA1 = YA1 = YA2 = 0 , et le système de points considéré est caractérisé par les valeurs
a) du pas (Pg) de la grille, aux nœuds de laquelle se placent les les 4 points, et celles ...
b) des coordonnées entières (XA2, XB1, YB1, XB2, YB2).
Tout point (M) du plan, respectivement séparé des deux segments par les distances (Da, Db), se caractérise pas la valeur du paramètre
t = (Da - Db)/(Da + Db)
par convention nul lorsque l'on a Da + Db = 0.
En rouge les régions du plan sur lesquelles (t) dépasse 2% (limite sans dimension), en bleu celles sur lesquelles (t) se situe en-dessous de -2%; les teintes intermédiaires signalent l'approche de la frontière (t = 0) représentée en noir, et qui correspond au lieu des points recherchés.
Im1_Pg=30_XY=2_7_3_5_8
Im2_Pg=24_XY=7_-3_-2_5_8
Im3_Pg=34_XY=7_1_2_4_2
Im4_Pg=24_XY=7_3_-2_5_8
Im5_Pg=27_XY=7_0_0_5_9
#10 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Triangle et cercle inscrit. » 04-10-2024 22:26:56
Bonsoir,
.../...
Puis cette formule dans tout triangle où a , b & c sont les angles "moitié" :
[tex]\sin^2{a}+\sin^2{b}+\sin^2{c}+2\times\sin{a}\times\sin{b}\times\sin{c} = 1[/tex]
...
C'est épatant ! Je ne connaissais pas - ou avais complètement oublié - cette relation ...
Merci pour l'info.
#11 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Triangle et cercle inscrit. » 03-10-2024 21:36:39
Bonsoir,
Je suis surpris pas l'apparition d'un polynôme. Après quelques errements, j'en étais venu très simplement à l'équation symétrique:
Arcsin(r/OA) + Arcsin(r/OB) + Arcsin(r/OC) = π/2 .
#12 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Triangle et cercle inscrit. » 03-10-2024 15:41:08
Bonjour,
J'ai trouvé pour (r) la racine d'une équation non-algébrique:
r = 0.366 983 140 344 960 ± 35E-15 .
La calculatrice ne me permet pas d'aller plus loin. L'énigme est intéressante tant par la concision de l'énoncé que celle de la solution.
#13 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Un exercic à la Borassus ??? » 31-08-2024 11:10:36
Bonjour,
Voir les nombres hexagonaux centrés:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_he … entr%C3%A9
... et les nombres pyramidaux centrés:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_poly%C3%A9drique_centr%C3%A9#Cas_d'une_pyramide_:_nombres_pyramidaux_centr%C3%A9s
#14 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation d'un point ? d'un segment ? » 29-08-2024 10:10:43
Bonjpur,
À tout point du plan de coordonnées réelles (x, y) on associe l'entier plafond déductible de la valeur locale de la fonction considérée:
K = Ceil(|x-3| + |x+2| + |y-4| - 5) ,
puis le pixel défini par les relations
Px[1]:= 255 - Ceil((255/4) * (K MOD 5) ,
Px[2]:= Ceil((255/5) * (K MOD 6) ,
Px[3]:= Ceil((255/6) * (K MOD 7) .
J'ai perdu beaucoup de temps sur la palette de couleurs. On peut faire mieux.
L'unité de longueur correspond ici à (701 - 1) DIV 30 = 23 pixels.
#15 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation d'un point ? d'un segment ? » 28-08-2024 23:59:09
On obtient facilement le faisceau d'hexagones correspondant aux valeurs successives entières positives du paramètre (h) dans l'équation
|x-3| + |x+2| + |y-4| = 5 + h .
Voici ce que cela donne:
On retrouve le trait rouge central correspondant à h = 0.
#16 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Equation d'un point ? d'un segment ? » 28-08-2024 17:59:35
Bonjour,
L'équation posée |x-3| + |x+2| -5+ |y-4| = 0
n'admet comme seule solution: y = 4 sur le domaine [-2 ; +3] des valeurs de (x).
Il suffit d'envisager les 6 expressions possibles de F(x, y).
On pourrait éventuellement envisager une relation un peu différente: |x-3| + |x+2| + |y-4| = 5 + h .
Cordialement, W.
#17 Re : Café mathématique » Conjecture de collatz » 25-06-2024 10:28:29
Bonjour,
... PREUVE DE LA CONJECTURE SIMPLIFIÉE
ÉNONCÉ DE LA CONJECTURE DE COLLATZ: Col(min)[N]=1 pour tout N de !N+1.
Partant d'un constat du caractère purement aléatoire des suites de collatz des entiers positifs non nuls qu'a revelé l'article de TERENCE TAO,et du fait que les multiples de trois sont absents des orbites,traduisons le problème avec des multiples de trois. Par exemple pour l'orbite de 5 [5,16,8,4,2,1,4,2,1,...] on a [15,48,24,12,6,3,12,6,3,...]. La règle pour obtenir le terme suivant devient simplement avec ça: terme suivant=terme précédent fois trois plus trois ,si le précédent est impair,ou on le divise par deux s'il est pair. On réalise une bijection de !N+1 sur 3(!N+1) pour transformer la conjecture de syracuse pour les impairs dans 2!N+1 en la conjecture de syracuse pour les impairs dans 3(2!N+1)
# L'énoncé ne paraît pas clair, et il eût été bienvenu de commencer par le rappel de la relation de récurrence définissant une suite de Collatz:
U0 étant un entier naturel non nul,
Un+1 = Un/2 si Un est pair
sinon Un+1 = 3*Un + 1 .
#
... du fait que les multiples de trois sont absents des orbites ...
Cela peut se produire une fois (mais une seule) dans une suite si l'on part de U0 = 2k*3*p (avec p impair),
on obtient au bout de (k) divisions par 2: uk = 3*p
# Pourrais-tu expliciter le sens de tes notations d'ensembles ? Je suppose qu'il s'agit de cela, et que (!N+1) correspond aux entiers naturels non nuls ...
... pour tout N de !N+1 ... On réalise une bijection de !N+1 sur 3(!N+1) ... pour les impairs dans 2!N+1 ... pour les impairs dans 3(2!N+1) ...
#
... traduisons le problème avec des multiples de trois. Par exemple pour l'orbite de 5 [5,16,8,4,2,1,4,2,1,...] on a [15,48,24,12,6,3,12,6,3,...] ...
Je ne vois pas ce qu'apporte le passage à la suite triple vn = 3*un , qui ne suit plus les règles que tu donnes:
Succ(3) = 3*3 + 1 = 10 et non 12 .
... Mais peut-être qu'une propriété intéressante m'a échappé ?
#18 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une Formule d'Équation À Ce Problème » 03-05-2024 09:28:01
Bonjour,
Les fonctions citées g(x) = (enx - 1)/(enx + 1) font en fait intervenir la fonction tangente hyperbolique:
g(x) = Tanh(nx) ;
et comme le résultat attendu est un entier (0 ou ±1), il faut procéder à un transtypage par recours à l'arrondi à l'entier le plus proche, en utilisant
g1(x) = Round(Tanh(nx)) ,
ce qui évite de confier au processeur l'approximation douteuse g(x) ≈ 1 pour x > 0 .
On a de plus: Tanh(1) = 0.761594 ce qui permet l'emploi d'une fonction plus simple:
g2(x) = Round(Tanh(x)) .
Enfin, la solution envisagée présente une complication calculatoire extravagante par rapport à la définition algorithmique de fa fonction Sgn(x), qui ne demande aucune opération arithmétique ni recours à une fonction transcendante.
... Et je le répète, la fonction en cause f = (S+|S|*Sgn(x))/2 + x = f(x, S) dépend non pas d'une seule mais de deux variables (voir #18); mais elle résume l'algorithme à mettre en œuvre.
#19 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une Formule d'Équation À Ce Problème » 01-05-2024 19:09:31
Bonjour,
... Par aillers je m'aperçois que ni WolframAlpha ni Maple18 ne connaissent de fonction H(x), c'est plutôt embêtant ça, difficile de s’en servir...
Pour WolframAlpha, il suffit de taper en entrée du site: Heaviside step function.
#20 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une Formule d'Équation À Ce Problème » 28-04-2024 17:19:35
Bonjour,
Wiwaxia a écrit :La fonction de Heavyside est directement liée au signe d'une grandeur réelle:
Sgn(x) = 2*H(x) - 1 .
Bonjour Wiwaxia,
... / ... Dans ce cas autant définir directement la fonction sgn(x) = -1 si x <0 et 1 sinon, non ? ...
Pas exactement, parce que le signe du zéro n'est pas défini, et la fonction doit alors retourner zéro (faute de mieux).
Il suffit d'écrire l'algorithme complet et symétrique:
FUNCTION Sgn(x: Reel):ShortInt;
VAR s: ShortInt;
BEGIN
IF (x>0) THEN s:= 1
ELSE IF (x<0) THEN s:= -1
ELSE s:= 0;
Result:= s
END;
Remarque: J'espère que l'indentation est respectée.
On obtient le même résultat en utilisant la fonction H(x).
#21 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une Formule d'Équation À Ce Problème » 28-04-2024 11:29:52
Bonjour,
... / ... En informatique on a une fonction dédiée souvent appelée SGN mais en mathématiques je n’en connais pas ... .
La fonction de Heavyside est directement liée au signe d'une grandeur réelle:
Sgn(x) = 2*H(x) - 1 .
L'expression donnée de f(x) est astucieuse, mais il s'agit en fait d'une relation de récurrence entre deux valeurs consécutives du score; elle donne la nouvelle valeur de (S) en fonction de l'ancienne, et de la dernière réponse donnée:
Sn+1 = f(Sn, xn+1) .
#22 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Octaèdre tronqué, donnez-moi une équation ? » 28-04-2024 10:19:21
Bonjour Bernard-maths,
Je suis (re)tombé sur l'octaèdre tronqué, sur le site de Mathcurve : https://mathcurve.com/polyedres/octaedr … nque.shtml
et du coup je voudrais en trouver des équations ...
Il doit s'agir a priori d'une relation où interviennent deux constantes positives (a, b), et de la forme:
Min(a|x|, a|y|, a|z|, b|x + y + z|, b|x + y - z|, b|y + z - x|, b|z + x - y| = 1 .
Il me semble que tu as déjà développé des calculs de ce genre.
#23 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une Formule d'Équation À Ce Problème » 25-04-2024 09:42:38
Bonjour à tous,
@ Bernard-maths: Je ne comprends pas bien la condition que tu as posée: SI (Sn = -xn+1) ;
il s'agit sans doute de la comparaison des signes des deux termes, et tu as probablement voulu dire par là:
"Si (Sn) et (xn+1) sont de signes contraires" ,
ce qui se traduit algorithmiquement par:
SII (Sn * xn+1) < 0
ou mieux encore sans calcul par
SI ((Sn)>0) ET (xn+1<0)) OU ((Sn)<0) ET (xn+1>0))
Il faut aussi préciser que la séquence des (NR) réponses données constitue une suite de termes bivalués, dont chacun peut valoir (+1) - dans le cas d'une bonne réponse - ou (-1); et que la détermination du premier score (S1) ne suit pas la règle générale.
Le score final S(Nr) résulte des instructions:
POUR n variant de (0) à (NR - 1) FAIRE
____SI (n=0) OU ((Sn)>0) ET (xn+1<0)) OU ((Sn)<0) ET (xn+1>0)) ALORS Sn+1 = xn+1
__________________________________________________________SINON Sn+1 = Sn + xn+1
Les avis sont néanmoins unanimes: il n'existe pas de fonction F(x?) retournant le résultat final.
#24 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Une Formule d'Équation À Ce Problème » 24-04-2024 19:03:41
Bonjour,
Le score est selon la règle initiale donné par la différence entre les nombres respectifs des bonnes et mauvaises réponses:
S = NB - NM ,
indépendamment de l'ordre dans lequel elles se succèdent.
Par exemple dans une épreuve comportant dix questions, auxquelles sont données 5 bonnes réponses et 5 mauvaises, le score obtenu est toujours nul:
Rép: B B B B B M M M M M
S = (0) 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0
Rép: M M M M M B B B B B
S = (0) -1 -2 -3 -4 -5 -4 -3 -2 -1 0
Les nouvelles règles que tu proposes introduisent des bonus ou des pénalités qui peuvent être importants, selon la valeur courante du score; on obtient ainsi pour les deux exemples précédents:
Rép: B B B B B M M M M M
S = (0) 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5
Rép: M M M M M B B B B B
S = (0) -1 -2 -3 -4 -5 +1 +2 +3 +4 +5
Ce serait encore pire avec 9 bonnes réponses et une mauvaise: je te laisse le soin d'examiner les 10 cas possibles, le score variant de (-1) à (+9).
Le score final ne dépend pas alors d'une seule donnée (le nombre de bonnes réponses), mais de la suite des réponses successives. données. La nouvelle règle proposée transforme l'épreuve en un jeu de hasard dont lr résultat ne reflète plus les connaissances du joueur.
#25 Re : Programmation » Demande de démonstration sur une formule de recherche fonctionnelle » 31-03-2024 10:35:08
Bonjour,
Satisfait de te savoir sorti d'affaire. J'ai connu moi aussi il y a un peu plus d'un an les surprises insoupçonnées d'un séjour à l'hôpital.
Le programme, quoique discutable, montre ta maîtrise du langage employé (le C, si j'ai bien compris). Il est bien exhaustif au sens où tous les entiers impairs composés inférieurs à un certain seuil sont donnés par la fonction g(x, z) (moyennant quelques précautions).
Tu es parti sur la liste des entiers impairs. Tu pourrais faire l'économie de 33% des calculs en te restreignant à la liste des entiers non pultiples de 2 et 3 , donc de la forme (6k + 1) ou (6k + 5) - ou ce qui revient au même: ( 6k ± 1) ; la liste s'énonce très rapidement si l'on tient compte de ce que les écarts entre deux termes consécutifs valent alternativement (2) et (4):
5 / 7 // 11 / 13 // 17 / 19 // 23 / 25 // 29 / 31 // 35 / 37 // 41 ...
Tu pourrais réutiliser g(x, z) = (2x + 1)(2z + 1) avec cette fois 1 < x ≤ z ; il vaudrait mieux toutefois que tu envisages un test de primalité applicable à tout entier impair.
Tu pourrais consulter avec profit le site Rosetta Code, qui présente plusieurs centaines de sujets traités dans un grand nombre de langages.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Rosetta_Code
Pour la liste complète de ces derniers, consulter https://rosettacode.org/wiki/Category:P … _Languages ;
pour l'index des sujets, se reporter à https://rosettacode.org/wiki/Category:Programming_Tasks ,
et regarder du côté de "Primality ..." - d'autres algorithmes intéressants peu faciles à débusquer figurent peut-être dans la liste ... C'est un peu la caverne d'Ali Baba, et les algorithmes proposés sont parfois décevants - mais le détour en vaut la peine.
https://rosettacode.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes
Pour toute vérification de la liste des nombres premiers:
https://oeis.org/search?q=prime+numbers … o=Chercher
http://compoasso.free.fr/primelistweb/p … online.php