Forum de mathématiques - Bibm@th.net

On obtient facilement le faisceau d'hexagones correspondant aux valeurs successives entières positives du paramètre (h) dans l'équation

|x-3| + |x+2| + |y-4| = 5 + h .

Voici ce que cela donne:

On retrouve le trait rouge central correspondant à h = 0.

Bonjour,

# L'énoncé ne paraît pas clair, et il eût été bienvenu de commencer par le rappel de la relation de récurrence définissant une suite de Collatz:

U₀ étant un entier naturel non nul,
U_n+1 = U_n/2 si U_n est pair
sinon U_n+1 = 3*U_n + 1 .

#

Cela peut se produire une fois (mais une seule) dans une suite si l'on part de U₀ = 2^k*3*p (avec p impair), 
on obtient au bout de (k) divisions par 2: u_k = 3*p

# Pourrais-tu expliciter le sens de tes notations d'ensembles ? Je suppose qu'il s'agit de cela, et que (!N+1) correspond aux entiers naturels non nuls ...

#

Je ne vois pas ce qu'apporte le passage à la suite triple v_n = 3*u_n , qui ne suit plus les règles que tu donnes:

Succ(3) = 3*3 + 1 = 10 et non 12 .

... Mais peut-être qu'une propriété intéressante m'a échappé ?

Bonjour,

Pour WolframAlpha, il suffit de taper en entrée du site: Heaviside step function.

Bonjour,

La fonction de Heavyside est directement liée au signe d'une grandeur réelle:

Sgn(x) = 2*H(x) - 1 .

L'expression donnée de f(x) est astucieuse, mais il s'agit en fait d'une relation de récurrence entre deux valeurs consécutives du score; elle donne la nouvelle valeur de (S) en fonction de l'ancienne, et de la dernière réponse donnée:

S_n+1 = f(S_n, x_n+1) .

Bonjour à tous,

@ Bernard-maths: Je ne comprends pas bien la condition que tu as posée: SI (S_n = -x_n+1) ;
il s'agit sans doute de la comparaison des signes des deux termes, et tu as probablement voulu dire par là:

"Si (S_n) et (x_n+1) sont de signes contraires" ,

ce qui se traduit algorithmiquement par:

SII (S_n * x_n+1) < 0

ou mieux encore sans calcul par

SI ((S_n)>0) ET (x_n+1<0)) OU ((S_n)<0) ET (x_n+1>0))

Il faut aussi préciser que la séquence des (N_R) réponses données constitue une suite de termes bivalués, dont chacun peut valoir (+1) - dans le cas d'une bonne réponse - ou (-1); et que la détermination du premier score (S₁) ne suit pas la règle générale.

Le score final S(_Nr) résulte des instructions:
POUR n variant de (0) à (N_R - 1) FAIRE
____SI (n=0) OU  ((S_n)>0) ET (x_n+1<0)) OU ((S_n)<0) ET (x_n+1>0)) ALORS S_n+1 = x_n+1
__________________________________________________________SINON S_n+1 = S_n + x_n+1

Les avis sont néanmoins unanimes: il n'existe pas de fonction F(x?) retournant le résultat final.

Bonjour,

Satisfait de te savoir sorti d'affaire. J'ai connu moi aussi il y a un peu plus d'un an les surprises insoupçonnées d'un séjour à l'hôpital.

Le programme, quoique discutable, montre ta maîtrise du langage employé (le C, si j'ai bien compris). Il est bien exhaustif au sens où tous les entiers impairs composés inférieurs à un certain seuil sont donnés par la fonction g(x, z) (moyennant quelques précautions).

Tu es parti sur la liste des entiers impairs. Tu pourrais faire l'économie de 33% des calculs en te restreignant à la liste des entiers non pultiples de 2 et 3 , donc de la forme (6k + 1) ou (6k + 5) - ou ce qui revient au même: ( 6k ± 1) ; la liste s'énonce très rapidement si l'on tient compte de ce que les écarts entre deux termes consécutifs valent alternativement (2) et (4):

5  / 7 // 11 / 13 // 17 / 19 // 23 / 25 // 29 / 31 // 35 / 37 // 41 ...

Tu pourrais réutiliser g(x, z) = (2x + 1)(2z + 1) avec cette fois 1 < x ≤ z ; il vaudrait mieux toutefois que tu envisages un test de primalité applicable à tout entier impair.

Tu pourrais consulter avec profit le site Rosetta Code, qui présente plusieurs centaines de sujets traités dans un grand nombre de langages.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Rosetta_Code

Pour la liste complète de ces derniers, consulter https://rosettacode.org/wiki/Category:P … _Languages ;
pour l'index des sujets, se reporter à https://rosettacode.org/wiki/Category:Programming_Tasks ,
et regarder du côté de "Primality ..." - d'autres algorithmes intéressants peu faciles à débusquer figurent peut-être dans la liste ... C'est un peu la caverne d'Ali Baba, et les algorithmes proposés sont parfois décevants - mais le détour en vaut la peine.
https://rosettacode.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes

Pour toute vérification de la liste des nombres premiers:
https://oeis.org/search?q=prime+numbers … o=Chercher
http://compoasso.free.fr/primelistweb/p … online.php

Bonjour,

Je crois tout serait plus clair si la figure comportait les deux centres de courbure:

(R) désigne probablement le rayon de l'arc médian.

Bonjour,

Pourrais-tu traduire en pseudo-code les six dernières lignes de ton programme ? Il est pour un béotien comme moi totalement inintelligible ...
Je suppose que (AB) et (BC) représentent les longueurs des portions de géodésiques joignant les points (A, B) et (C) situés à la surface de la Terre, en admettant que cette dernière soit sphérique ... Quel est son rayon ?

L'énoncé de ton problème, dont les données ne comportent que des angles, est incomplet: il y manque une distance, le rayon de la planète ...

Il appelle par ailleurs deux remarques:
a) la précision grandiose des données et des premiers résultats me laisse un peu perplexe ... Je sais bien que la géolocalisation réalise des prodiges, mais de là  à fournir des résultats comportant 16 ou 17 chiffres significatifs ! Une incertitude de 1 cm rapportée au rayon terrestre (6371 km) correspond au rapport 1.6E^-9, donc à une précision de seulement 9 chiffres significatifs ...
b) les distances envisagées, de l'ordre du kilomètre, sont très inférieures au rayon terrestre, ce qui permet de se ramener dans le plan tangent au point (A), et de faire des calculs beaucoup plus simples au prix d'une faible approximation (~ 10^-8).

Le lieu des points cherché est une ellipse de foyers (A) et (C), puisque la condition imposée (pour autant qu'on puisse la comprendre) est

AM + MC = C^te ,

plus précisément celle qui passe par le point (B): C^te = AB + BC .

Bonjour,

Ce n'est pas étonnant, parce que l'écart (e = MA + MB - AB) est proportionnel au carré de la distance du point (M) au segment (AB); par exemple, si l'on prend :

OA = (-L/2, 0) ; OB = (+L/2, 0) ; OM = (0, h)

avec h<<L ,
il vient: MA² = MB² = L²/4 + h² = (L²/4)(1 + 4h²/L²) , d'où:

MA = MB ≈ (L/2)(1 + 2h²/L²) , et e = (MA + MB - AB) ≈ 2h²/L .

Il faut donc:
a) effectuer les calculs sur des variables de type Float au format Extended, codées sur 10 octets, afin d'atteindre la précision maximale (18 à 19 chiffres);
b) représenter à l'aide d'une palette appropriée les variations dans un plan de la grandeur e' = k*√e , qui, elle, est proportionnelle à la distance (d) et dont l'annulation apparaît beaucoup plus nettement: le long d'une sécante au segment (AB), le graphe des variations e' = F(u) présente en effet une rupture de pente au voisinage du point d'intersection (e' = 0), ce qui renforce le contraste de couleur.

Bonjour,

J'ai l'impression que tu recherches une fonction indicatrice dont l'énoncé exclurait tout test conditionnel, et se réduirait à une séquence d'instructions ou de formules "purement" calculatoires ... Il m'est arrivé aussi de me poser des questions semblables, faces à certains problèmes.
Une telle recherche constitue en soi un excellent exercice, mais elle procède d'une illusion: les instructions algorithmiques ne peuvent être bannies des définitions où elles interviennent. Un exemple simple et caractéristique est celui de la valeur absolue, que tu n'as pas manqué de citer:
a) la définition donnée de f(x) omet de préciser ce que l'on obtient lorsque (x) est nul, ce qui conduit à une division par zéro; il faut donc la reprendre en écrivant

SI (x=0) ALORS f(x)=0 SINON F(x)=(x+|x|)/(2x) ;

b) l'intervention de la valeur absolue ne constitue qu'une feuille de vigne, un habillage bien pratique destiné à masquer les instructions logiques permettant de définir cette grandeur:

SI (x<0) ALORS Abs(x)=-x SINON Abs(x)=x .

Ce genre de recherche peut être intéressant en programmation; cependant dès que les formules (si ingénieuses soient-elles) se combinent entre elles et s'appellent mutuellement, le temps d'exécution du programme augmente nettement: la concision des instructions n'entraîne pas la rapidité de l'exécution, bien au contraire.

Pourquoi ne pas écrire:

SI (x<0) ALORS f(x)=2x SINON f(x)=x² ?

... d'autant que tu ne définis pas la fonction en (x=0), et que tu fais intervenir intuitivement la fonction d'une variable booléenne  V(u)

SI (u=Vrai) ALORS V(u)=1 SINON V(u)=0 ...

Ce que tu proposes peut être exprimé dans le langage Basic de ta calculatrice programmable:

Y1 = 2*x{x<0} + x^2{x≥0} .

Ces remarques n'ont pas pour objet de te décourager, mais de mieux orienter ta curiosité mathématique, qui est en soi une disposition positive.

Bonjour,

Il n'est probablement pas nécessaire de construire un triangle conforme aux données ...

Bonsoir,

J'ai rencontré beaucoup de difficultés dans le transfert en ligne du contenu du fichier, et l'indentation laissait en effet beaucoup à désirer. J'ai rectifié pour le mieux, par correction manuelle.

Pour le reste, je répondrai demain.
Bonne fin de soirée.