Une Formule d'Équation À Ce Problème

EC67675 · 24-04-2024 12:06:26

Bonjour à tous,

Voici un problème ;

Un jeu de questions-réponses établit les scores obtenus de la façon suivante :

- Pour 1 bonne réponse du joueur, le nombre de points obtenus x est égal à +1.
- Pour 1 mauvaise réponse, le nombre de points obtenus x est égal à -1.

Le score S du joueur est un entier relatif, il augmente de 1 tant que celui-ci donne une bonne réponse, et diminue de 1 tant que celui-ci donne une mauvaise réponse.

Cependant, une nuance est la suivante :

- Si le score S du joueur était > 0 et qu’il vient à donner une mauvaise réponse, son score bascule directement à -1.
- Si son score S était < 0 et qu’il vient à donner une bonne réponse, son score bascule directement à 1.

Le décompte de points à la suite reste le même.

J’aimerais vous demander s’il est possible de formuler une équation permettant d’obtenir S à partir de x (x serait la seule inconnue), quelles que soient leurs valeurs respectives…

Avez-vous des idées ?

Un grand merci.

Jean

Wiwaxia · 24-04-2024 19:03:41

Bonjour,

Le score est selon la règle initiale donné par la différence entre les nombres respectifs des bonnes et mauvaises réponses:

S = N_B - N_M ,

indépendamment de l'ordre dans lequel elles se succèdent.

Par exemple dans une épreuve comportant dix questions, auxquelles sont données 5 bonnes réponses et 5 mauvaises, le score obtenu est toujours nul:

Rép:     B    B    B    B    B    M    M    M    M    M

S = (0)  1    2    3    4    5    4    3    2    1    0

Rép:     M     M     M     M     M     B     B     B     B     B

S = (0) -1    -2    -3    -4    -5    -4    -3    -2    -1    0

Les nouvelles règles que tu proposes introduisent des bonus ou des pénalités qui peuvent être importants, selon la valeur courante du score; on obtient ainsi pour les deux exemples précédents:

Rép:     B    B    B    B    B    M    M    M    M    M

S = (0)  1    2    3    4    5   -1   -2   -3   -4   -5

Rép:     M     M     M     M     M     B     B     B     B     B

S = (0) -1    -2    -3    -4    -5    +1    +2    +3    +4    +5

Ce serait encore pire avec 9 bonnes réponses et une mauvaise: je te laisse le soin d'examiner les 10 cas possibles, le score variant de (-1) à (+9).

Le score final ne dépend pas alors d'une seule donnée (le nombre de bonnes réponses), mais de la suite des réponses successives. données. La nouvelle règle proposée transforme l'épreuve en un jeu de hasard dont lr résultat ne reflète plus les connaissances du joueur.

Bernard-maths · 24-04-2024 19:19:30

Bonsoir à tous !

Cet énoncé me semble imprécis ! L'étrange condition : si S = +1 et mauvaise réponse, fait passer à -1 et non 0 ???

Donc S = 0 au début, mais ne peut pas se terminer sur 0 ...

Si on prend 5 bonnes et 5 mauvaises alternées, selon le départ on termine sur +1 ou -1 !

Ou bien j'ai rien compris ...

B-m

EC67675 · 24-04-2024 19:36:01

Bonsoir,

Merci pour vos réponses très intéressantes, les règles du jeu sont ce qu'elles sont mais en soi je vous avoue que c'est plutôt le fait de trouver l'équation qui me pose soucis ;p

yoshi · 24-04-2024 21:22:33

Bonsoir,

réponses très intéressantes, les règles du jeu sont ce qu'elles sont [...] je vous avoue que c'est plutôt le fait de trouver l'équation qui me pose soucis

Autrement dit "les critiques sur les calculs du score sont inutiles, elles ne changeront pas, occupez-vous plutôt de me trouver une formule". Oui, c'est brutal comme résumé, mais c'est mon ressenti...

Pourtant, le problème du calcul n'est pas anodin, de lui dépend l'élaboration d'une formule. Je pense qu'il va être quasi impossible de trouver une équation formule...
Pourquoi ?
Pour moi ces deux paragraphes sont contradictoire ou je n'ai rien compris et alors, il faut revoir la formulation :

Le score S du joueur est un entier relatif, il augmente de 1 tant que celui-ci donne une bonne réponse, et diminue de 1 tant que celui-ci donne une mauvaise réponse.
Cependant, une nuance est la suivante :
- Si le score S du joueur était > 0 et qu’il vient à donner une mauvaise réponse, son score bascule directement à -1.
- Si son score S était < 0 et qu’il vient à donner une bonne réponse, son score bascule directement à 1.

Le score S du joueur est un entier relatif, il augmente de 1 tant que celui-ci donne une bonne réponse(...) :
3 bonnes réponses de suite et on a +3...
Mais :
(...), et diminue de 1 tant que celui-ci donne une mauvaise réponse.
Maintenant que le joueur est à + 3 (qui est >0), 3 mauvaises réponses il devrait être à 0, mais :
Si le score S du joueur était > 0 et qu’il vient à donner une mauvaise réponse, son score bascule directement à -1
et de -1,il se retrouve à -3 (2 mauvaises réponses supplémentaires) : contradictoire.
Même reproche dans l'autre sens...

Mais, ce qui te préoccupe est l'équation la formule, pas la cohérence...
Trouver une formule me surprendrait donc, mais quelques lignes de programmation feraient l'affaire sans problème...

Si je résume ta règle comme suit :

Si S>0, toute bonne réponse augmente le score de 1, la première mauvaise réponse le ramène à -1
Si S<0, toute mauvaise réponse diminue le score de 1, la première bonne réponse le ramène à +1

est-ce que cela reflète ta pensée ?

C'est une règle que tu as inventée pour ce que tu veux mettre en place ou elle existe vraiment et dans ce cas, où peut-on la voir en fonctionnement ?

@+

Bernard-maths · 24-04-2024 21:57:40

Bonsoir !

Bien vu Yoshi ! Pour moi il n'y a pas d'équation/formule !

Les x sont les termes d'une suite (imprévisible) ...

La seule chose qu'on puisse faire, c'est de "calculer" le solde suivant en connaissant le nouvel x ...

Bonne soirée !

B-m

Bernard-maths · 25-04-2024 06:54:14

Bonjour à tous !

Si les soldes sont S₀ = 0 au départ, puis S₁ pour la 1ère réponse x₁, S₂ pour x₂, ... S_n pour x_n, alors on peut calculer S_n+1 en fonction de S_n et x_n+1 par :

SI (S_n = -x_n+1) ALORS (S_n+1 = x_n+1) SINON (S_n+1 = S_n + x_n+1)

Si on ne veut pas d'indices, si S est le solde courant et x la réponse suivante, on peut avoir :

SI (S = -x) ALORS (S = x) SINON (S <-- S + x)

Voilà pour mes cogitations nocturnes ...

@+, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (25-04-2024 06:56:03)

Wiwaxia · 25-04-2024 09:42:38

Bonjour à tous,

@ Bernard-maths: Je ne comprends pas bien la condition que tu as posée: SI (S_n = -x_n+1) ;
il s'agit sans doute de la comparaison des signes des deux termes, et tu as probablement voulu dire par là:

"Si (S_n) et (x_n+1) sont de signes contraires" ,

ce qui se traduit algorithmiquement par:

SII (S_n * x_n+1) < 0

ou mieux encore sans calcul par

SI ((S_n)>0) ET (x_n+1<0)) OU ((S_n)<0) ET (x_n+1>0))

Il faut aussi préciser que la séquence des (N_R) réponses données constitue une suite de termes bivalués, dont chacun peut valoir (+1) - dans le cas d'une bonne réponse - ou (-1); et que la détermination du premier score (S₁) ne suit pas la règle générale.

Le score final S(_Nr) résulte des instructions:
POUR n variant de (0) à (N_R - 1) FAIRE
____SI (n=0) OU ((S_n)>0) ET (x_n+1<0)) OU ((S_n)<0) ET (x_n+1>0)) ALORS S_n+1 = x_n+1
__________________________________________________________SINON S_n+1 = S_n + x_n+1

Les avis sont néanmoins unanimes: il n'existe pas de fonction F(x?) retournant le résultat final.

Dernière modification par Wiwaxia (25-04-2024 12:49:45)

Bernard-maths · 25-04-2024 10:12:32

Bonjour Wiwaxia !

Je traite les 2 cas S = -1 avec x = 1, et S = 1 avecx = -1 ...

yoshi · 25-04-2024 10:33:19

RE,

Je viens de me rendre compte que le résumé que j'ai proposé ne marche pas au démarrage, ni avec S>0 ni avec S<0 ilt fa

Bernard-maths · 25-04-2024 13:46:16

Bonjour à tous, Wiwaxia, Yoshi, ...

Ouais, moi aussi ! J'ai mal lu l'énoncé ...

Je sens qu'on va y arriver !

S₁ = x₁ ;

SI(S_n * x_n+1 < 0) ALORS S_n = x_n+1) SINON (S_n+1 = S_n + x_n+1)

Je viens de bidouiller ça en 3 minutes, à vous de vérifier (tous, Wiwaxia, Yoshi, ...)

B-m

yoshi · 25-04-2024 14:38:00

J'ai corrigé avec $S\geq 0$ et $S\leq 0$
(c'est la planification de l'affichage qui m'a pris le plus de temps...)
Maintenant ça roule (tirages aléatoires de l'état de la réponse : 0 fausse 1 juste)

Exemple de sortie:

Réponse n°  1  Ancienne somme  0   Mauvaise réponse     Nouvelle Somme  -1
Réponse n°  2  Ancienne somme -1   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   1
Réponse n°  3  Ancienne somme  1   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   2
Réponse n°  4  Ancienne somme  2   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   3
Réponse n°  5  Ancienne somme  3   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   4
Réponse n°  6  Ancienne somme  4   Mauvaise réponse     Nouvelle Somme  -1
Réponse n°  7  Ancienne somme -1   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   1
Réponse n°  8  Ancienne somme  1   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   2
Réponse n°  9  Ancienne somme  2   Mauvaise réponse     Nouvelle Somme  -1
Réponse n° 10  Ancienne somme -1   Mauvaise réponse     Nouvelle Somme  -2
Réponse n° 11  Ancienne somme -2   Mauvaise réponse     Nouvelle Somme  -3
Réponse n° 12  Ancienne somme -3   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   1
Réponse n° 13  Ancienne somme  1   Mauvaise réponse     Nouvelle Somme  -1
Réponse n° 14  Ancienne somme -1   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   1
Réponse n° 15  Ancienne somme  1   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   2
Réponse n° 16  Ancienne somme  2   Mauvaise réponse     Nouvelle Somme  -1
Réponse n° 17  Ancienne somme -1   Mauvaise réponse     Nouvelle Somme  -2
Réponse n° 18  Ancienne somme -2   Mauvaise réponse     Nouvelle Somme  -3
Réponse n° 19  Ancienne somme -3   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   1
Réponse n° 20  Ancienne somme  1   Bonne Réponse        Nouvelle Somme   2

Le script est ici : https://www.bibmath.net/forums/viewtopi … 45#p111645

@+

yoshi · 27-04-2024 12:18:16

Re,

@Bernard-maths
Alors, où en es-tu ?

Moi, j'ai pris de l'avance ;-D....

@+

Dernière modification par yoshi (27-04-2024 12:21:43)

Bernard-maths · 27-04-2024 12:29:35

Bonjour à TOUS, et un peu à Yoshi !

MOI j'ai répondu en 3 minutes, mon algo est juste ... (?)

Après, c'est TOUT ! Cela dépend des tirages (réponses) successifs, qui ne dépendent pas de moi ...

Cette façon de compter n'est pas équitable ...

prenons 2 joueurs sur 5 réponses :

- le 1er répond F, F, F, F, J : il a finalement +1
- le 2ème répond J, J, J, J, F : il a finalement -1

Cordialement, B-m-w

Bernard-maths · 27-04-2024 12:43:01

Re,

cela me fait penser à une notation du genre ± 2ⁿ⁺¹
mais à bidouiller ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (27-04-2024 12:43:28)

Ernst · 27-04-2024 16:05:08

EC67675 a écrit :

J’aimerais vous demander s’il est possible de formuler une équation permettant d’obtenir S à partir de x (x serait la seule inconnue), quelles que soient leurs valeurs respectives…

Bonjour Jean

Si j’ai bien compris, il s’agit d’établir une équation avec x comme seule variable, S étant un paramètre fixe au moment du tirage, à savoir le score qu’il convient de modifer, et x ne pouvant prendre que deux valeurs, 1 ou -1. L’équation est la suivante :

$ f(x)=\frac{S}{2}+\frac{\left | S \right |\left | x \right |}{2x}+x $

S=3 et x=1. C’est un gain supplémentaire, S passe à 4.
S=3 et x=-1. Oups, perte donc annulation du score qui passe à -1.
...
S=-3 et x=-1. La perte continue, S passe à -4.
S=-4 et x=1. Yé, gain, on annule tout et S repart à 1.

Ernst · 27-04-2024 19:13:36

Bonsoir tout le monde,

En me relisant je m’aperçois que j’aurais plutôt dû écrire que la fonction renvoyait une valeur correspondant au nouveau score en tenant compte de la règle du jeu vu que S en lui-même conserve sa valeur, mais bon, l’essentiel me semblait être de trouver la formule qui allait bien.

Ma démarche a été d’abord de savoir comment trouver le signe du score et également de x. En informatique on a une fonction dédiée souvent appelée SGN mais en mathématiques je n’en connais pas. Ensuite elle a été de trouver comment garder le score ou l’annuler en fonction de ces signes. Si je le garde on ajoute x vu que c’est de même signe, et si on l’annule on ajoute x aussi puisqu’il est de signe contraire – et donc on passe à l’unité de l’autre côté du zéro, donc dans tous les cas on ajoute x.

Restait à trouver comment garder ou annuler. Et là je me suis dit que ça marchait avec un score divisé par deux suivi d'un signe + ou - devant le score lui aussi divisé par deux. Soit j'ajoute les deux et j'obtiens bien le score originel, soit je retire le deuxième au premier et comme c'est la même chose il se retrouve à zéro.

Voili voilou.

Wiwaxia · 28-04-2024 11:29:52

Bonjour,

Ernst a écrit :

... / ... En informatique on a une fonction dédiée souvent appelée SGN mais en mathématiques je n’en connais pas ... .

La fonction de Heavyside est directement liée au signe d'une grandeur réelle:

Sgn(x) = 2*H(x) - 1 .

L'expression donnée de f(x) est astucieuse, mais il s'agit en fait d'une relation de récurrence entre deux valeurs consécutives du score; elle donne la nouvelle valeur de (S) en fonction de l'ancienne, et de la dernière réponse donnée:

S_n+1 = f(S_n, x_n+1) .

Dernière modification par Wiwaxia (28-04-2024 12:20:58)

Ernst · 28-04-2024 13:42:54

Wiwaxia a écrit :

La fonction de Heavyside est directement liée au signe d'une grandeur réelle:
Sgn(x) = 2*H(x) - 1 .

Bonjour Wiwaxia,

Cool. Je ne savais pas qu'on pouvait écrire des fonctions avec des si. Dans ce cas autant définir directement la fonction sgn(x) = -1 si x <0 et 1 sinon, non ? D'autant que j’ai l’impression que WolframAlpha est capable de gérer le truc sans problème, exemple.

Wiwaxia · 28-04-2024 17:19:35

Bonjour,

Ernst a écrit :

Wiwaxia a écrit :
La fonction de Heavyside est directement liée au signe d'une grandeur réelle:
Sgn(x) = 2*H(x) - 1 .
Bonjour Wiwaxia,
... / ... Dans ce cas autant définir directement la fonction sgn(x) = -1 si x <0 et 1 sinon, non ? ...

Pas exactement, parce que le signe du zéro n'est pas défini, et la fonction doit alors retourner zéro (faute de mieux).
Il suffit d'écrire l'algorithme complet et symétrique:

FUNCTION Sgn(x: Reel):ShortInt;

  VAR s: ShortInt;

  BEGIN

    IF (x>0) THEN s:= 1

             ELSE IF (x<0) THEN s:= -1

                           ELSE s:= 0;

    Result:= s

  END;

Remarque: J'espère que l'indentation est respectée.

On obtient le même résultat en utilisant la fonction H(x).

Dernière modification par Wiwaxia (28-04-2024 18:11:16)

Ernst · 29-04-2024 10:37:56

Bonjour Wiwaxia,

Ici je voulais une formule mathématique, vu qu'avec un algorithme de programmation le problème était trivial. Et comme j’étais sûr d’éviter la division par zéro puisque x ne prenait que la valeur 1 ou -1, et comme cela marche aussi quel que soit S entier zéro compris, cela répondait bien à la demande je pense.

Par aillers je m'aperçois que ni WolframAlpha ni Maple18 ne connaissent de fonction H(x), c'est plutôt embêtant ça, difficile de s’en servir...

Wiwaxia · 01-05-2024 19:09:31

Bonjour,

Ernst a écrit :

... Par aillers je m'aperçois que ni WolframAlpha ni Maple18 ne connaissent de fonction H(x), c'est plutôt embêtant ça, difficile de s’en servir...

Pour WolframAlpha, il suffit de taper en entrée du site: Heaviside step function.

Ernst · 02-05-2024 00:24:31

Wiwaxia a écrit :

Pour WolframAlpha, il suffit de taper en entrée du site: Heaviside step function.

Bonsoir,

C’est toujours bien de le savoir, mais je ne pense pas que cela soit bien nécessaire dans la mesure où avec WolframAlpha la fonction ${sgn()}$ marche déjà très bien : elle sort directement ${-1 / 0 / 1}$ en fonction de valeurs négatives / nulles / positives sans avoir besoin ni d’initialisation, ni de formule.

Ceci dit, depuis nos échanges je me suis penché sur la fonction ${sgn()}$ telle que la présente Wikipédia. D’une part je suis content d’avoir trouvé tout seul la formule ${\Large{\frac { \left| x \right| }{x}}}$ et d’autre part j’ai testé la fonction ${\Large{\frac {{{\rm e}^{100\,x}}-1}{{{\rm e}^{100\,x}}+1}}}$ qui sur ce problème donne le signe exact même en quadruple précision, et cela sans avoir à faire d’exception sur ${x}$.

EC67675 · 02-05-2024 20:31:39

Bonsoir Ernst,

Merci pour vos réponses, voulez-vous dire qu'il est possible de remplacer par ${\Large{\frac {{{\rm e}^{100\,x}}-1}{{{\rm e}^{100\,x}}+1}}}$ dans votre formule $ f(x)=\frac{S}{2}+\frac{\left | S \right |\left | x \right |}{2x}+x $ ?

Merci et bonne soirée

Ernst · 02-05-2024 23:17:52

EC67675 a écrit :

Merci pour vos réponses, voulez-vous dire qu'il est possible de remplacer par ${\Large{\frac {{{\rm e}^{100\,x}}-1}{{{\rm e}^{100\,x}}+1}}}$ dans votre formule $ f(x)=\frac{S}{2}+\frac{\left | S \right |\left | x \right |}{2x}+x $ ?

Bonsoir EC67675

Pas la peine, sur ce coup la formule originelle fonctionne très bien.

L’idée de base, c’est d’exprimer le nouveau score en fonction de l’ancien score et de ${x}$. Si les deux sont de même signe, on les ajoute, s’ils sont de sens contraire on repart sur ${x}$ tout seul. Fallait donc trouver le moyen, mathématiquement parlant, d’exprimer le signe d’une valeur ici par ${+1}$ ou par ${-1}$, et également d’annuler entièrement le score ou pas du tout.

En informatique c’est simple puisqu’on a des instructions signe, partie entière, vrai, faux, si ceci alors cela, etc. En mathématiques il est plus difficile d’exprimer les choses avec une formule et une seule. Écrire ${\Large{\frac { \left| x \right| }{x}}}$ marche très bien tant que ${x}$ est différent de zéro – et c’était le cas dans le petit problème proposé. Sauf que voilà, il aurait suffit que ${x}$ puisse prendre d’autres valeurs dont zéro pour que cela ne marche plus du tout, la division par zéro étant déclarée impossible.

Dans ce cas, je disais qu’à la place de ${\Large{\frac { \left| x \right| }{x}}}$ il faut plutôt écrire ${\Large{\frac {{{\rm e}^{nx}}-1}{{{\rm e}^{nx}}+1}}}$ qui renvoie également le signe selon les valeurs de ${x}$ même quand il est égal à zéro. Sauf qu’une fois encore, attention, faut quand même que ${n}$ soit grand. Par exemple si ${n=10}$ cela commence à se rapprocher de ce que l’on souhaite, mais si on calcule en virgule flottante cela risque de poser problème à cause des décimales. Avec ${n=100}$ il n’y a plus aucun problème même si on calcule en quadruple précision puisque ça sort effectivement ${-1}$,${0}$ ou ${1}$.

Petite démonstration avec Maple :

signe

Avec ${n=10}$ on voit que pour des valeurs assez grandes ça marche, mais avec ${-1}$ ou ${1}$ on a une floppée de décimales gênantes. Avec ${n=100}$ c’est ${-1}$, ${0}$ ou ${1}$ quoi qu’il arrive.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 24-04-2024 12:06:26

Une Formule d'Équation À Ce Problème

#2 24-04-2024 19:03:41

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#3 24-04-2024 19:19:30

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#4 24-04-2024 19:36:01

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#5 24-04-2024 21:22:33

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#6 24-04-2024 21:57:40

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#7 25-04-2024 06:54:14

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#8 25-04-2024 09:42:38

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#9 25-04-2024 10:12:32

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#10 25-04-2024 10:33:19

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#11 25-04-2024 13:46:16

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#12 25-04-2024 14:38:00

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#13 27-04-2024 12:18:16

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#14 27-04-2024 12:29:35

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#15 27-04-2024 12:43:01

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#16 27-04-2024 16:05:08

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#17 27-04-2024 19:13:36

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#18 28-04-2024 11:29:52

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#19 28-04-2024 13:42:54

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#20 28-04-2024 17:19:35

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#21 29-04-2024 10:37:56

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#22 01-05-2024 19:09:31

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#23 02-05-2024 00:24:31

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#24 02-05-2024 20:31:39

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

#25 02-05-2024 23:17:52

Re : Une Formule d'Équation À Ce Problème

Réponse rapide

Pied de page des forums