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GUIRAO Gérard

Invité

Le triplet pythagoricien dans la suite de Fibonacci

bonjour à vous,
j'ai toujours été un cancre à l'école, mais j'ai toujours aimé les nombres et ses mystères, comme les conjectures etc... un jour je suis tombé sur la suite de Léonardo Fibonacci et avec mon tableur Excel j'ai remarqué le rapport de la suite de Fibonacci et le triplet de Pythagoricien
exemple : le suite de F = (0,1,1,2,3,5,8,13,...)
je prends les termes (1,1,2,3)
les extrêmes le couple a (1et 3)
les milieux le couple b (1,2)
je prends le produit du premier couple a 1x3 donc 3
je prends le double du produit du couple b 2(1x2) donc 4
je prends la somme des carrés du couple b (1^2+2^2) = 1+4 = 5
nous obtenons le triplet pythagoricien (3,4,5)  3^2+4^2=5^2

vérification :
je prends les termes (3,5,8,13)
3x13=39
2x(5x8)=80
5^2+8^2=89
le triplet (39,80,89) fonctionne 39^2+80^2=89^2 = 7 921

voilà le problème pourquoi ??
merci de résoudre ce casse tête

Wiwaxia

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Re : Le triplet pythagoricien dans la suite de Fibonacci

Bonjour,

Chaque terme d'une suite de Fibonacci est par définition la somme des deux précédents; il vient par conséquent pour quatre termes consécutifs (a, b, c, d): c = a + b et d = b + c = a + 2b .

Considérons dès lors les grandeurs X= ad, Y = 2bc et Z = b² + c² ; il vient en développant les expressions des carrés:

X² = [a(a + 2b)]² = [a² + 2ab]² = a⁴ + 4a³b + 4a²b² ;
Y² = 4b²c² = 4b²(a + b)² = 4a²b² + 8ab³ + 4b⁴ ;
Z² = (b² + c²)² = (a² + 2ab + 2b²)² = a⁴ + 4a²b² + 4b⁴ + 4a³b + 8ab³ + 4a²b²

soit encore en ordonnant les termes:

Z² = a⁴ + 4a³b + 8a²b² + 8ab³ + 4b⁴ .

On vérifie aisément que le calcul de la somme (X² + Y²) conduit à une expression identique.

Ainsi se vérifie la relation X² + Y² = Z² , qui fait du triplet (X, Y, Z) un triplet pythagoricien.

Une vérification numérique rapide peut être effectuée sur calculatrice, par le calcul programmé de la grandeur g = X² + Y² - Z² , qui apparaît systématiquement nulle quel que soit le rang des termes impliqués, pourvu qu'il s'agisse d'une suite de Fibonacci, caractérisée par la relation u_k = u_k-1 + u_k-2 .
Exemples: la suite dont tu as envisagé le début (a, b, c, d) = (1, 1, 2, 3)
ou encore une autre commençant par (a, b, c, d) = (4, 7, 11, 18).

Disposes-tu d'une calculatrice programmable ? Elle permet des calculs très rapides, et tu gagnerais beaucoup à savoir l'employer.

PS: des vérifications analogues sont certainement possibles sur tableur Excell

Dernière modification par Wiwaxia (20-01-2025 15:54:19)

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Le triplet pythagoricien dans la suite de Fibonacci

Bonjour,
Ça marche pour n'importe quelle suite $a, b, a+b, a+2b$. On a bien
$$ (a(a+2b))^2 + (2b(a+b))^2 = (b^2+(a+b)^2)^2$$
Bonne observation.

GUIRAO Gérard

Invité

Re : Le triplet pythagoricien dans la suite de Fibonacci

merci pour cette éclairage, effectivement c'était simple.
il faudrait maintenant imaginer graphiquement une succession d'étagère de triangle droit dans une pyramide à l'infini.
merci à vous

Wiwaxia

Membre

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Re : Le triplet pythagoricien dans la suite de Fibonacci

J'ai repris les valeurs successives de la suite de Fibonacci commençant par la paire (4, 7); le calcul des entiers (X_k, Y_k, Z_k) devient possible à partir du 4me terme, ainsi que l'écart D_k = X_k² + Y_k² - Z_k²

La croissance, de type exponentiel, est rapide: le rapport entre deux valeurs consécutives de chacun des termes (X_k, Y_k, Z_k) tend vers le carré du nombre d'or (φ² = 1 + φ ~ 2.618034).
Le calcul avec la précision ordinaire est bloqué à la 23^me étape (Z₂₃² atteignant alors 2.2E20).

Je doute que la construction graphique évoquée soit facile.

Dernière modification par Wiwaxia (24-01-2025 08:41:11)