Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
soit [tex]f \in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex], et soit l'équation [tex]\Delta u - u =\dfrac{\partial f}{\partial x_i}[/tex] qui admet une solution unique [tex]u \in H^1(\mathbb{R}^n)[/tex].
La question est de s'assurer qu'il existe une constante [tex]C \geq 0[/tex] telle que [tex]||u||_{H^1} \leq C||f||_{L^2}[/tex].
Voici ce que j'ai essayé: pour tout [tex]v \in H^1(\mathbb{R}^n)[/tex], la formulation faible de l'équation est:

[tex]\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v dx - \displaystyle\int_{\Omega} u v dx = - \displaystyle\int_{\Omega} f \dfrac{\partial v}{\partial x_i} dx[/tex]

En posant [tex]v=u[/tex], on a:

[tex]\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla u dx - \displaystyle\int_{\Omega} u u dx = - \displaystyle\int_{\Omega} f \dfrac{\partial u}{\partial x_i} dx[/tex]

Le problème est que [tex]\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla u dx - \displaystyle\int_{\Omega} u u dx[/tex] ne représente pas [tex]||u||_{H^1}[/tex] à cause du signe [tex]-[/tex].  Que faire?
Merci par avance.

Bonjour,
lorsqu'on fait un développement de Taylor, au point 1/n au voisinage de 0, on écrit [tex]\varphi(1/n) = \varphi(0)+ x \varphi'(\xi)[/tex] où[tex] \xi \in (0,1/n)[/tex]
est-ce qu'il est correct de dire quand on passe à la limite quand n tend vers l'infini que [tex]\xi \to 0[/tex] et donc[tex] \varphi'(\xi) \to \varphi'(0)[/tex]?
Merci par avance.

Bonjour,
Sur le domaine [tex]]0,2[\times ]0,2[ / \{1\} \times ]0,1[[/tex] on définie la fonction
[tex]\begin{cases}
y: &0<x<1, 0<y \leq 1\\
1: &0<x<2, 1<y \leq 2\\
2-y: &1<x<2, 0<y \leq 1\\
\end{cases}[/tex]

Quand est-ce que les dérivées au sens faible sont égales aux dérivées au sens classiques?
Merci par avance.

Bonjour,
je bloque sur la question suivante: pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] on a [tex]<a\delta+b \delta' + c \delta'',\varphi> = a \varphi(0) - b \varphi'(0) + c \varphi''(0)[/tex].
La question est de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur a, b et c pour avoir [tex]a \delta + b \delta' + \delta''=0[/tex].
J'ai pensé à changé de variable et à dire que ca revient à trouver les conditions sur a, b et c pour que l'équation [tex]ay-by'+cy''=0[/tex] soit vérifiée, mais c'est sans issue.
Pouvez vous m'aider avec une idée?
Je vous remercie par avance.

Bonjour,
je cherche à calculer la dérivée première de [tex]x \ln |x|[/tex] au sens des distributions. Voici ce que je propose.
Tout d'abord, cette fonction est localement intégrable sur[tex] \mathbb{R}[/tex], elle définie donc une distribution par
[tex]<T,\varphi> = \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} x \ln(-x) \varphi(x) dx+ \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty}x \ln(x) \varphi(x) dx][/tex]
Donc
[tex]<T',\varphi>= - <T,\varphi'> =
-\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} x \ln(-x) \varphi'(x) dx+ \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty}x \ln(x) \varphi'(x) dx][/tex]
On calcule chaque intégrale du terme de droite en utilisant l'ipp. Ce qui donne que
[tex][\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} x \ln(-x) \varphi'(x) dx= -\epsilon \ln(\epsilon) \varphi(-\epsilon) - \displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \varphi(x) [\ln(-x) - 1] dx[/tex]
et
[tex][\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} x \ln(x) \varphi'(x) dx= -\epsilon \ln(\epsilon) \varphi(\epsilon) - \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \varphi(x) [\ln(x) - 1] dx[/tex]
Donc
en utilisant un developpement de Taylor, on montre que
[tex]\lim_{\epsilon \to 0} (\epsilon \ln(\epsilon) [\varphi(-\epsilon) + \varphi(\epsilon)]=0[/tex]
et donc
[tex]<T',\varphi> = \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \varphi(x) (\ln(-x)-1) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \varphi(x) (\ln(-x)-1) dx[/tex]

Est-ce que c'est correcte? Est-ce qu'on peut simplifier plus?
Je vous remercie par avance pour votre aide.