Forum de mathématiques - Bibm@th.net

devil

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dérivée au sens de D'

Bonjour,
je cherche à calculer la dérivée première de [tex]x \ln |x|[/tex] au sens des distributions. Voici ce que je propose.
Tout d'abord, cette fonction est localement intégrable sur[tex] \mathbb{R}[/tex], elle définie donc une distribution par
[tex]<T,\varphi> = \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} x \ln(-x) \varphi(x) dx+ \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty}x \ln(x) \varphi(x) dx][/tex]
Donc
[tex]<T',\varphi>= - <T,\varphi'> =
-\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} x \ln(-x) \varphi'(x) dx+ \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty}x \ln(x) \varphi'(x) dx][/tex]
On calcule chaque intégrale du terme de droite en utilisant l'ipp. Ce qui donne que
[tex][\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} x \ln(-x) \varphi'(x) dx= -\epsilon \ln(\epsilon) \varphi(-\epsilon) - \displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \varphi(x) [\ln(-x) - 1] dx[/tex]
et
[tex][\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} x \ln(x) \varphi'(x) dx= -\epsilon \ln(\epsilon) \varphi(\epsilon) - \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \varphi(x) [\ln(x) - 1] dx[/tex]
Donc
en utilisant un developpement de Taylor, on montre que
[tex]\lim_{\epsilon \to 0} (\epsilon \ln(\epsilon) [\varphi(-\epsilon) + \varphi(\epsilon)]=0[/tex]
et donc
[tex]<T',\varphi> = \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \varphi(x) (\ln(-x)-1) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \varphi(x) (\ln(-x)-1) dx[/tex]

Est-ce que c'est correcte? Est-ce qu'on peut simplifier plus?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Dernière modification par devil (15-02-2016 10:40:55)

Ostap Bender

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Re : dérivée au sens de D'

Bonjour,

Dans
[tex]\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \varphi(x) (\ln(-x)-1) dx[/tex]
rien ne te choque ?

Ostap Bender

devil

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Re : dérivée au sens de D'

Pardon, c'est un copier-coller raté. Je modifie dans mon post1.