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devil

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f est elle dans W^{1,p}?

Bonjour,
j'ai la question suivantes:
on considère l'intervalle  [tex]I=]-1,1[[/tex], et la fonction $f(x)=|x|.$ La question est: pour quels  $p \in [1,+\infty[$ on a $f \in W^{1,p}(I)?$
Voici la solution que je propose: tout d'abord, on rappel que
$$
W^{m,p}(I)=\{u \in L^p(I), D^{\alpha} u \in L^p(I) \forall |\alpha| \leq m\}
$$
where D^{\alpha} u $ est la dérivée au sens des distributions. Donc,
$$
W^{1,p}(I)= \{u \in L^p(I), u' \in L^p(I)\}
$$
En premier, on cherche $p$ t.q $u \in L^p(I).$ On a:
$$
\displaystyle\int_{-1}^1 |x|^p dx = \displaystyle\int_{-1}^0 (-x)^p dx + \displaystyle\int_0^1 x^p dx = -\dfrac{(1)^{p+1}}{p+1} + \dfrac{(1)^{p+1}}{p+1}= 0
$$
On conclut que $u \in L^p(I)$ pour tout $p$?

En second, on cherche $p$ tel que $u' \in L^p(I)$. On a pour tout $\varphi \in D(I)$
$$
<u',\varphi>=-<u,\varphi'> = - \displaystyle\int_{-1}^0 (-x)^p \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_0^1 x^p \varphi'(x) dx
$$
En intégrant par parties, on trouve
$$
\displaystyle\int_{-1}^0 (-x)^p \varphi'(x)dx = [(-x)^p \varphi(x)]_{-1}^0 + p \displaystyle\int_{-1}^0 (-x)^{p-1} \varphi(x) dx
$$
and
$$
\displaystyle\int_0^1 x^p \varphi'(x)dx = [x^p \varphi(x)]_0^1 - p \displaystyle\int_0^1 x^{p-1} \varphi(x) dx
$$
Mais je n'arrive pas à continuer et à trouver [tex]p[/tex].
Merci par avance de votre aide.

Dernière modification par devil (25-02-2016 10:43:43)

Roro

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Re : f est elle dans W^{1,p}?

Bonsoir,

Je suis d'accord avec tes définitions d'espaces [tex]W^{1,p}[/tex]. Toutefois, les calculs que tu fais après ont l'air faux. En particulier, ça ne te choque pas d'écrire [tex]\int_{-1}^1 |x|^p dx = 0[/tex] ?

Une indication : sur un ensemble borné, toute fonction bornée est dans tous les espaces [tex]L^p[/tex].

Roro.

Dernière modification par Roro (25-02-2016 23:28:14)

devil

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Re : f est elle dans W^{1,p}?

[tex]|x|^p[/tex]  est bornée sur[tex] [-1,1][/tex] elle est donc [tex]L^p[/tex] quelque soit [tex]p[/tex], et sa dérivée au sens des distribution est[tex] sgn(x)[/tex] qui est L^^p pour tout  p \in [1,+\infty[, donc [tex]f \in W^{1,p}(I)[/tex]. Vous êtes d'accord?
Si oui, et pour p=\infty? Quand est-ce qu'on dit d'une fonction qu'elle est [tex]W^{1,\infty}[/tex]?
Merci d'avance.

Roro

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Re : f est elle dans W^{1,p}?

Bonjour devil,

Je suis d'accord !
Pour [tex]W^{1,\infty}[/tex] c'est la même définition, il faut que la fonction et sa dérivée soient dans [tex]L^\infty[/tex]. Ce qui est le cas ici...

Roro.

devil

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Re : f est elle dans W^{1,p}?

[tex]
W^{1,\infty}=\{u \in L^{\infty}(\Omega), D^{\alpha}u \in L^{\infty}(\Omega), \forall \alpha \in \mathbb{R}^n\}
[/tex]
?
Mais j'ai lu une autre définition avec le sup essentiel, que je n'ai pas compris. C'est quoi cette définition exacte avec le sup essentiel? et c'est quoi la différence avec la définition en utilisant [tex]L^{\infty}[/tex]?
Merci beaucoup