Corrigé 
On va commencer par prouver la convergence, pour tout $A>0,$ de $\int_A^{+\infty}\frac{\sin (t)}tdt.$ C'est très classique. Considérons $X>A.$ Alors on a, par une intégration par parties,
\begin{eqnarray*}
\int_A^X \frac{\sin(t)}{t}dt&=&\left[\frac{-\cos(t)}{t}\right]_A^X-\int_{A}^X\frac{\cos(t)}{t^2}dt\\
&=&\frac{-\cos(X)}{X}+\frac{\cos(A)}A-\int_{A}^X\frac{\cos(t)}{t^2}dt.
\end{eqnarray*}
Or, puisque
$$\left|\frac{\cos(t)}{t^2}\right|\leq \frac 1{t^2},$$
l'intégrale impropre $\int_{A}^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t^2}dt$ converge. Puisque $\cos(X)/X\to 0$ lorsque $X\to +\infty,$ on a bien prouvé que $\int_A^X \frac{\sin(t)}{t}dt$ admet une limite lorsque $X$ tend vers $+\infty$ et donc la convergence de $\int_A^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt.$ On a en particulier obtenu que
$$\int_A^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt=\frac{\cos(A)}A-\int_A^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t^2}dt.$$
On a aussi la convergence de $\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t^2}dt$ en remarquant que la fonction $t\mapsto \sin(t)/t,$ prolongée par $1$ en $0,$ est continue sur $\mathbb R.$ Ceci implique en particulier qu'il n'y a pas de problème de convergence en $0$ pour $\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt.$
Posons alors, pour $x\geq 0,$ $F(x)=\int_x^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt.$ On doit prouver l'existence et calculer $\int_0^{+\infty}F(x)dx.$ On va commencer par prouver que $F$ est continue, ce qui justifie que l'on peut considérer son intégrale sur un segment. Pour cela, on écrit, par la relation de Chasles,
$$F(x)=-\int_1^x \frac{\sin(t)}{t}dt+\int_1^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt.$$
La continuité de $x\mapsto \int_1^x \frac{\sin(t)}{t}dt$ est alors une conséquence immédiate du théorème fondamental du calcul intégral. On obtient même que $F$ est $C^1$ sur $[0,+\infty[,$ avec, pour tout $x\geq 0,$
$$F'(x)=-\frac{\sin(x)}{x}.$$
Passons à l'existence et au calcul de l'intégrale impropre. On fixe $A>0$ et on étudie $\int_0^A F(x)dx.$ Il est naturel de calculer cette intégrale en réalisant une intégration par parties, et on trouve
\begin{eqnarray*}
\int_0^A F(x)dx&=&AF(A)-0F(0)-\int_0^A xF'(x)dx\\
&=&AF(A)+\int_0^A \sin(x)dx\\
&=&AF(A)-\cos(A)+1.
\end{eqnarray*}
Or, on a démontré tout au début que
$$F(A)=\frac{\cos(A)}A-\int_A^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t^2}.$$
En remplaçant, des simplifications apparaissent et on trouve
$$\int_0^A F(x)dx=-A\int_{A}^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t^2}dt+1.$$
On aimerait prouver que
$$\lim_{A\to+\infty} A \int_{A}^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t^2}dt=0.$$
Malheureusement, si on majore le plus simplement possible, on trouve
\begin{eqnarray*}
\left| A \int_{A}^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t^2}dt\right|&\leq& A\int_A^{+\infty}\frac1{t^2}dt\\
&\leq &A\left[\frac {-1}t\right]_A^{+\infty}=1.
\end{eqnarray*}
On va s'en sortir en faisant une nouvelle intégration par parties : puisque $t\mapsto \frac{\cos(t)}{t^2}$ et $t\mapsto{\sin(t)}{t^3}$ sont intégrables sur $[A,+\infty[,$ on a
\begin{eqnarray*}
\int_A^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t^2}&=&\left[\frac{\sin(t)}{t^2}\right]_A^{+\infty}+\int_A^{+\infty}\frac{2\sin(t)}{t^3}dt\\
&=&-\frac{\sin(A)}{A^2}+\int_A^{+\infty}\frac{2\sin(t)}{t^3}dt.
\end{eqnarray*}
On a donc
$$\int_0^A F(x)dx=\frac{\sin(A)}{A}-A\int_A^{+\infty}\frac{2\sin(t)}{t^3}dt+1.$$
Cette fois, on va réussir à prouver que
$$\lim_{A\to+\infty} A\int_A^{+\infty}\frac{2\sin(t)}{t^3}dt=0$$
car
\begin{eqnarray*}
\left|A\int_A^{+\infty}\frac{2\sin(t)}{t^3}dt\right|&\leq&A\int_A^{+\infty}\frac{2}{t^3}dt\\
&\leq&A\left[\frac {-1}{t^2}\right]_A^{+\infty}\\
&\leq&\frac 1A.
\end{eqnarray*}
En conclusion, on a démontré que $\displaystyle \int_0^{+\infty}\int_x^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}dtdx$ existe et vaut $1.$
