Résumé de cours : intégrales généralisées et fonctions intégrables
Soit $f:[a,+\infty[\to \mathbb K$ continue par morceaux. On dit que l'intégrale $\int_a^{+\infty}f$ est convergente si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Dans ce cas, on note $\int_a^{+\infty} f(t)dt$ ou $\int_a^{+\infty}f$ cette limite. Une telle intégrale est alors appelée intégrale généralisée ou intégrale impropre.
Soit $f:[a,b[\to\mathbb K$ continue par morceaux avec $a,b\in\mathbb R$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f$ est convergente si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$. Dans ce cas, on note $\int_a^{b} f(t)dt$ ou $\int_a^{b}f$ cette limite.
Soit $f:]a,b[\to\mathbb K$ continue par morceaux avec $a,b\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f$ est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) $c\in ]a,b[$, la fonction $x\mapsto \int_c^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$ et la fonction $x\mapsto \int_x^c f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$. Dans ce cas, on note $\int_a^{b} f(t)dt$ ou $\int_a^{b}f$ la somme de ces deux limites : $$\int_a^b f=\lim_{x\to a^+}\int_x^c f+\lim_{y\to b^-}\int_c^yf.$$ Cette valeur ne dépend pas de $c\in]a,b[$.
Dans la suite, on considèrera $I=(a,b)$ un intervalle de $\mathbb R$ ouvert ou semi-ouvert et $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions continues par morceaux. Les propriétés usuelles suivantes sont vérifiées :
- positivité : si $\int_I f$ converge et si $f\geq 0$ sur $I$, alors $\int_I f\geq 0$;
- linéarité : si $\int_I f$ et $\int_I g$ convergent, alors pour tout $\lambda\in\mathbb K$, $\int_I(f+\lambda g)$ converge et $\int_I(f+\lambda g)=\int_I f+\lambda \int_I g$.
- relation de Chasles : si $\int_I f$ converge, alors pour tout $c\in ]a,b[$, $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent et on a $$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f.$$
De plus, on a les propriétés suivantes :
- si $a$ et $b$ sont des réels et $f$ est continue par morceaux sur le segment $[a,b]$, alors l'intégrale $\int_a^b f(t)dt$ converge et sa valeur coïncide avec l'intégrale $\int_a^b f(t)dt$ au sens usuel de l'intégrale des fonctions continues par morceaux sur un segment ;
- si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge si et seulement si $F$ admet une limite en $a$ et en $b$. Dans ce cas, $$\int_a^b f(t)dt=\lim_{x\to b^-}F(x)-\lim_{x\to a^+}F(x).$$
Comme pour les séries, on a besoin d'intégrales de référence. Les deux exemples suivants sont les plus importants :
- L'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha>1$.
- L'intégrale $\int_a^b \frac{dx}{(x-a)^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha<1$.
Attention! $\int_0^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}$ n'est jamais convergente!
Les théorèmes classiques permettant de calculer une intégrale sur un segment se généralisent au cas des intégrales impropres.
$I$ est un intervalle ouvert de $\mathbb R$ et $f,g:I\to\mathbb K$ sont des fonctions continues par morceaux. On dit que $f$ est intégrable sur $I$ ou que $\int_If$ est absolument convergente si $\int_I|f|$ converge.
Si $\int_I f(t)dt$ converge sans que $f$ ne soit intégrable sur $I$, alors on parle d'intégrale semi-convergente.
Les deux propriétés précédentes entrainent que, si on note $L^1(I)$, l'ensemble des fonctions continues et intégrables de $I$ dans $\mathbb K$, alors $L^1(I)$ est un sous-espace vectoriel des fonctions continues sur $I$ et $\|f\|_1=\int_I |f(t)|dt$ est une norme sur $\mathcal E(I)$.
- si $0\leq f\leq g$ alors l’intégrabilité de $g$ sur $I$ implique celle de $f$;
- si $f(x)\sim_b g(x)$ et si $g$ garde un signe constant au voisinage de $b$, l'intégrabilité de $g$ sur $I$ est équivalente à celle de $f$.
Le premier point du théorème précédent s'applique en particulier si $f(x)=_b O\big(g(x)\big)$ ou si $f(x)=_b o\big(g(x)\big)$.
- S'il existe $\alpha>1$ tel que $t^\alpha f(t)\xrightarrow{t\to+\infty}0$, alors $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$.
- S'il existe $c>0$ tel que $\lim_{t\to+\infty}tf(t)\geq c$, alors l'intégrale impropre $\int_a^{+\infty}f(t)dt$ n'est pas convergente.
On a un critère analogue au voisinage d'un point $a$, en remplaçant la condition $\alpha>1$ par $\alpha<1$.
Soit $I=[a,b[$ et $f,g:I\to\mathbb R$ continue par morceaux telles que $g$ garde un signe constant au voisinage de $b$.
Équivalence : Si $f\sim_b g$, alors :
- si $\int_a^b g(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b f(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt\sim_b \int_a^x g(t)dt$ (équivalence des intégrales partielles).
- si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt\sim_b \int_x^b g(t)dt$ (équivalence des restes).
Domination : Si $f=_b O(g)$, alors :
- si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt=_b O\left( \int_a^x g(t)dt\right)$ (domination des intégrales partielles).
- si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt=_b O\left(\int_x^b g(t)dt\right)$ (domination des restes).
Négligeabilité : Si $f=_b o(g)$, alors :
- si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt=_b o\left( \int_a^x g(t)dt\right)$ (négligeabilité des intégrales partielles).
- si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt=_b o\left( \int_x^b g(t)dt\right)$ (négligeabilité des restes).