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Oraux de concours : Exercices sur les fonctions intégrables

Ecole Polytechnique
Exercice 1 - $f$, $f'$ et $f''$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal C^2(\mathbb R,\mathbb R)$ telle que $f$ et $f''$ sont de carré intégrable.
  1. Démontrer que $f'$ est de carré intégrable.
  2. Démontrer que $\left(\int_{\mathbb R}f'^2\right)^2\leq \left(\int_{\mathbb R}f^2\right)\left(\int_{\mathbb R}f''^2\right).$
Indication
Corrigé
CCINP
Exercice 2 - Annales CCINP [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. La fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{e^{-x}}{\sqrt{x^2-4}}$ est-elle intégrable sur $]2,+\infty[$?
  2. Soit $a$ un réel positif. La fonction $\displaystyle x\mapsto\frac{\ln(x)}{\sqrt{1+x^{2a}}}$ est-elle intégrable sur $]0,+\infty[$?
Indication
Corrigé
Intégrales généralisées et fonctions intégrales
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